ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}x+3>0,\\ x^2+6x+9>0,\\ x+2>0.\end{array}$$

По формуле квадрата суммы $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, поэтому второе условие означает $x\ne -3$. Из $x>-2$ следуют и $x>-3$, и $x\ne -3$, поэтому система равносильна одному условию.

ОДЗ: $x>-2$.

Преобразуем первый множитель. Так как $0,25=\frac{1}{4}=4^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$

$${\log }_{0,25}(x+3)={\log }_{4^{-1}}(x+3)=-{\log }_4(x+3),$$

поэтому

$${\log }_{0,25}^2(x+3)={\left(-{\log }_4(x+3)\right)}^2={\log }_4^2(x+3).$$

На ОДЗ $x+3>0$, поэтому по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$)

$${\log }_4\left(x^2+6x+9\right)={\log }_4(x+3{)}^2=2{\log }_4(x+3).$$

Тогда первый множитель — полный квадрат по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$${\log }_4^2(x+3)-2{\log }_4(x+3)+1={\left({\log }_4(x+3)-1\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$${\left({\log }_4(x+3)-1\right)}^2\cdot {\log }_4(x+2)⩽0.$$

Первый множитель — квадрат, он либо равен нулю, либо положителен. Разберём оба случая.

1. Первый множитель равен нулю. Тогда произведение равно $0$ и неравенство выполнено:

$${\log }_4(x+3)=1\iff x+3=4\iff x=1.$$

Значение $x=1$ лежит в ОДЗ, значит, это решение.

2. Первый множитель положителен, то есть $x\ne 1$. Разделим обе части на него, знак неравенства сохранится:

$${\log }_4(x+2)⩽0\iff {\log }_4(x+2)⩽{\log }_{4}1.$$

Функция $y={\log }_{4}t$ возрастает, так как $4>1$, поэтому с учётом ОДЗ ($x+2>0$) неравенство равносильно

$$0<x+2⩽1\iff -2<x⩽-1.$$

Условие $x\ne 1$ здесь выполнено. Объединим решения двух случаев: $x\in (-2;-1]\cup \{1\}$.

Ответ: $(-2;-1]\cup \{1\}$.