ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=5^x$, где $t>0$ (показательная функция принимает только положительные значения). Неравенство примет вид

$$\frac{6}{t-125}⩽\frac{1}{t-25}.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 125$, $t\ne 25$.

Переносить дроби «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей неизвестны. Поэтому перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-125)(t-25)$:

$$\frac{6}{t-125}-\frac{1}{t-25}⩽0\iff \frac{6(t-25)-(t-125)}{(t-125)(t-25)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе: $6t-150-t+125=5t-25=5(t-5)$. Получаем

$$\frac{5(t-5)}{(t-125)(t-25)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $5$ закрашен (неравенство нестрогое), нули знаменателя $25$ и $125$ выколоты. При больших $t$ дробь положительна, дальше знаки чередуются:

Получаем $t⩽5$ или $25<t<125$. Учтём условие $t>0$:

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}0<5^x⩽5,\\ 25<5^x<125\end{array}\iff [\begin{array}{l}{5}^x⩽5^1,\\ 5^2<5^x<5^3.\end{array}$$

Условие $5^x>0$ выполняется при всех $x$. Функция $y=5^x$ возрастает, так как $5>1$, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$[\begin{array}{l}x⩽1,\\ 2<x<3.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;1]\cup (2;3)$.