ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: показатели определены при $x\ne 0$.

Представим каждое слагаемое через две степени с одинаковым показателем $-\frac{4}{x}$, пользуясь свойствами $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$:

$$16\cdot 5^{1-\frac{8}{x}}=16\cdot 5\cdot 5^{-\frac{8}{x}}=80{\left(5^{-\frac{4}{x}}\right)}^2,$$

$$189\cdot 20^{-\frac{4}{x}}=189\cdot (5\cdot 4{)}^{-\frac{4}{x}}=189\cdot 5^{-\frac{4}{x}}\cdot 4^{-\frac{4}{x}},$$

$$25\cdot 2^{2-\frac{16}{x}}=25\cdot 2^2\cdot {\left(2^2\right)}^{-\frac{8}{x}}=100\cdot 4^{-\frac{8}{x}}=100{\left(4^{-\frac{4}{x}}\right)}^2.$$

Обозначим $a=5^{-\frac{4}{x}}$ и $b=4^{-\frac{4}{x}}$, обе величины положительны. Неравенство принимает вид

$$80a^2-189ab+100b^2⩽0.$$

Это однородное неравенство второй степени: каждое слагаемое имеет суммарную степень $2$ по $a$ и $b$. Разделим обе части на $b^2>0$, знак неравенства сохранится:

$$80{\left(\frac{a}{b}\right)}^2-189\cdot \frac{a}{b}+100⩽0.$$

Заметим, что $\frac{a}{b}=\frac{5^{-\frac{4}{x}}}{4^{-\frac{4}{x}}}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{x}}$. Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{x}}$, где $t>0$:

$$80t^2-189t+100⩽0.$$

Найдём корни трёхчлена. Дискриминант

$$D=189^2-4\cdot 80\cdot 100=35721-32000=3721=61^2,$$

$$t=\frac{189\pm 61}{160},t_1=\frac{128}{160}=\frac{4}{5},t_2=\frac{250}{160}=\frac{25}{16}.$$

Значит, неравенство можно записать как $80\left(t-\frac{4}{5}\right)\left(t-\frac{25}{16}\right)⩽0$. Решим методом интервалов:

Получаем $\frac{4}{5}⩽t⩽\frac{25}{16}$; оба конца положительны, так что условие $t>0$ выполнено. Сделаем обратную замену, записав границы как степени числа $\frac{5}{4}$: $\frac{4}{5}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}$, $\frac{25}{16}={\left(\frac{5}{4}\right)}^2$:

$${\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}⩽{\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{x}}⩽{\left(\frac{5}{4}\right)}^2.$$

Функция $y={\left(\frac{5}{4}\right)}^s$ возрастает, так как $\frac{5}{4}>1$, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$-1⩽-\frac{4}{x}⩽2\iff \{\begin{array}{l}-\frac{4}{x}⩾-1,\\ -\frac{4}{x}⩽2.\end{array}$$

Решим первое неравенство системы. Перенесём всё в одну часть:

$$1-\frac{4}{x}⩾0\iff \frac{x-4}{x}⩾0.$$

Получаем $x<0$ или $x⩾4$.

Решим второе неравенство:

$$2+\frac{4}{x}⩾0\iff \frac{2x+4}{x}⩾0\iff \frac{x+2}{x}⩾0.$$

Получаем $x⩽-2$ или $x>0$.

Пересечём решения двух неравенств. На $(-\infty ;-2]$ выполнены оба, на $(-2;0)$ не выполнено второе, на $(0;4)$ не выполнено первое, на $[4;+\infty )$ выполнены оба:

Ответ: $(-\infty ;-2]\cup [4;+\infty )$.