ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}5-x>0,\\ x+31>0,\\ x^2-4x>0,\\ 5^{{\log }_5(5-x)}+31^{{\log }_{31}(x+31)}>0.\end{array}$$

Четвёртое условие выполняется автоматически: это сумма двух значений показательных функций, каждое из которых положительно. Первые два условия дают $-31<x<5$. Третье запишем как $x(x-4)>0$ и решим методом интервалов:

Получаем $x<0$ или $x>4$. Пересечём с интервалом $(-31;5)$:

ОДЗ: $x\in (-31;0)\cup (4;5)$.

На ОДЗ $5-x>0$ и $x+31>0$, поэтому по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$)

$$5^{{\log }_5(5-x)}=5-x,31^{{\log }_{31}(x+31)}=x+31.$$

Сумма в аргументе первого логарифма равна $(5-x)+(x+31)=36$. Так как ${\log }_{6}36=2$, левая часть неравенства равна $2+3=5$:

$$5⩾{\log }_2\left(x^2-4x\right).$$

Запишем $5={\log }_{2}32$:

$${\log }_2\left(x^2-4x\right)⩽{\log }_{2}32.$$

Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, так как $2>1$, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$x^2-4x⩽32\iff x^2-4x-32⩽0.$$

Корни трёхчлена равны $-4$ и $8$ (по теореме Виета сумма $4$, произведение $-32$), поэтому

$$(x+4)(x-8)⩽0.$$

Получаем $-4⩽x⩽8$. Пересечём с ОДЗ: от интервала $(-31;0)$ остаётся $[-4;0)$, а интервал $(4;5)$ целиком лежит в отрезке $[-4;8]$:

Ответ: $[-4;0)\cup (4;5)$.