ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: показатель $\frac{1}{x}-1$ определён при $x\ne 0$.

Так как $256=16^2$, то по свойству степени ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

$$256^{\frac{1}{x}-1}={\left(16^2\right)}^{\frac{1}{x}-1}={\left(16^{\frac{1}{x}-1}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=16^{\frac{1}{x}-1}$, где $t>0$ (показательная функция положительна). Неравенство примет вид

$$t^2-t-2⩾0.$$

Корни трёхчлена равны $-1$ и $2$ (по теореме Виета сумма $1$, произведение $-2$), поэтому

$$(t+1)(t-2)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашены:

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t⩽-1,\\ t⩾2.\end{array}$$

Так как $t>0$, первое неравенство решений не имеет, остаётся $t⩾2$. Сделаем обратную замену. Заметим, что $2=\sqrt[4]{16}=16^{\frac{1}{4}}$:

$$16^{\frac{1}{x}-1}⩾16^{\frac{1}{4}}.$$

Функция $y=16^s$ возрастает, так как $16>1$, поэтому неравенство равносильно неравенству показателей с тем же знаком:

$$\frac{1}{x}-1⩾\frac{1}{4}\iff \frac{1}{x}-\frac{5}{4}⩾0\iff \frac{4-5x}{4x}⩾0.$$

Умножим обе части на $-4$, знак неравенства поменяется:

$$\frac{5x-4}{x}⩽0.$$

Нуль числителя $\frac{4}{5}$ закрашен, нуль знаменателя $0$ выколот:

Получаем $0<x⩽\frac{4}{5}$, условие $x\ne 0$ выполнено.

Ответ: $\left(0;\frac{4}{5}\right]$.