ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Упростим подкоренное выражение первого корня:

$$(x-4{)}^2-x^2=x^2-8x+16-x^2=16-8x.$$

Найдём ОДЗ: все подкоренные выражения неотрицательны:

$$\{\begin{array}{l}16-8x⩾0,\\ x+4⩾0,\\ 4x+16⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩽2,\\ x⩾-4.\end{array}$$

Третье условие $4(x+4)⩾0$ совпадает со вторым.

ОДЗ: $x\in [-4;2]$.

Преобразуем правую часть. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней:

$$\sqrt{4x+16}=\sqrt{4(x+4)}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x+4}=2\sqrt{x+4}.$$

Неравенство принимает вид

$$\sqrt{16-8x}+\sqrt{x+4}⩾2\sqrt{x+4}.$$

Перенесём $\sqrt{x+4}$ в правую часть и приведём подобные:

$$\sqrt{16-8x}⩾\sqrt{x+4}.$$

Воспользуемся равносильным переходом $\sqrt{A}⩾\sqrt{B}\iff \{\begin{array}{l}A⩾B,\\ B⩾0.\end{array}$ Он верен, потому что обе части неотрицательны, а для неотрицательных чисел $a⩾b\iff a^2⩾b^2$; условие $A⩾0$ при этом следует из $A⩾B⩾0$. Получаем

$$\{\begin{array}{l}16-8x⩾x+4,\\ x+4⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9x⩽12,\\ x⩾-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩽\frac{4}{3},\\ x⩾-4.\end{array}$$

Так как $\frac{4}{3}<2$, все найденные значения лежат в ОДЗ:

Ответ: $\left[-4;\frac{4}{3}\right]$.