ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$ (показательная функция принимает только положительные значения). Тогда $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$, и неравенство примет вид

$$\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}⩽0.$$

Корни трёхчлена $t^2-5t+6$ равны $2$ и $3$ (по теореме Виета сумма $5$, произведение $6$), поэтому $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$. Знаменатели не равны нулю: $t\ne 2$, $t\ne 3$.

Приведём дроби к общему знаменателю $(t-2)(t-3)$: первую дробь домножим на $t-2$, вторую — на $t-3$:

$$\frac{t(t-2)+(t+1)(t-3)+5}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$t^2-2t+t^2-2t-3+5=2t^2-4t+2=2\left(t^2-2t+1\right)=2(t-1{)}^2.$$

Получаем

$$\frac{2(t-1{)}^2}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашен, нули знаменателя $2$ и $3$ выколоты. Множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через точку $1$ знак не меняется:

Значит, $t=1$ или $2<t<3$. Учтём условие $t>0$: оба найденных множества ему удовлетворяют.

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{3}^x=1,\\ 2<3^x<3\end{array}\iff [\begin{array}{l}{3}^x=3^0,\\ 3^{{\log }_{3}2}<3^x<3^1.\end{array}$$

Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$[\begin{array}{l}x=0,\\ {\log }_{3}2<x<1.\end{array}$$

Так как $1<2<3$, то $0<{\log }_{3}2<1$, и точка $0$ лежит левее интервала:

Ответ: $\{0\}\cup \left({\log }_{3}2;1\right)$.