ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}2x^2-13x+20>0,\\ x+7>0,\\ {\log }_7(x+7)\ne 0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Дискриминант трёхчлена $D=13^2-4\cdot 2\cdot 20=169-160=9$, корни

$$x=\frac{13\pm 3}{4},x_1=\frac{5}{2}=2,5,x_2=4.$$

Значит, $2x^2-13x+20=(2x-5)(x-4)$. Метод интервалов, точки выколоты:

Второе условие даёт $x>-7$. Третье: ${\log }_7(x+7)=0$ при $x+7=1$, то есть нужно $x\ne -6$. Пересечём все три условия:

ОДЗ: $x\in (-7;-6)\cup (-6;2,5)\cup (4;+\infty )$.

Запишем $1={\log }_{2}2$ и $0={\log }_{7}1$:

$$\frac{{\log }_2\left(2x^2-13x+20\right)-{\log }_{2}2}{{\log }_7(x+7)-{\log }_{7}1}⩽0.$$

Применим метод рационализации: при $a>0$, $a\ne 1$ и положительных $f$, $g$ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Действительно, при $a>1$ логарифм возрастает и ${\log }_{a}f>{\log }_{a}g\iff f>g$, а при $0<a<1$ убывает и знак разности меняется — это и учитывает множитель $a-1$. Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя, поэтому на ОДЗ можно заменить каждый из них выражением того же знака.

Числитель заменяем на $(2-1)\left(2x^2-13x+20-2\right)=2x^2-13x+18$, знаменатель — на $(7-1)(x+7-1)=6(x+6)$:

$$\frac{2x^2-13x+18}{6(x+6)}⩽0.$$

Разложим числитель: $D=169-144=25$, корни $x=\frac{13\pm 5}{4}$, то есть $x=2$ и $x=\frac{9}{2}=4,5$. Значит, $2x^2-13x+18=(x-2)(2x-9)$. Умножим обе части на положительное число $6$:

$$\frac{(x-2)(2x-9)}{x+6}⩽0.$$

Нули числителя $2$ и $4,5$ закрашены, нуль знаменателя $-6$ выколот:

Получаем $x\in (-\infty ;-6)\cup [2;4,5]$.

Пересечём с ОДЗ. От луча $(-\infty ;-6)$ остаётся $(-7;-6)$; от отрезка $[2;4,5]$ остаются части $[2;2,5)$ и $(4;4,5]$, так как промежуток $[2,5;4]$ в ОДЗ не входит:

Ответ: $(-7;-6)\cup [2;2,5)\cup (4;4,5]$.