ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: показатель $\frac{1}{x}$ определён при $x\ne 0$.

Заметим, что $2^{2x}={\left(2^2\right)}^x=4^x$, а $20=4\cdot 5$. Разделим обе части на положительное число $20$, знак неравенства сохранится:

$$\frac{4^x}{4}\cdot \frac{5^{\frac{1}{x}}}{5}⩾1\iff 4^{x-1}\cdot 5^{\frac{1}{x}-1}⩾1.$$

Обе части неравенства положительны. Прологарифмируем их по основанию $4$: функция $y={\log }_{4}t$ возрастает, так как $4>1$, поэтому знак неравенства сохраняется, и переход равносилен:

$${\log }_4\left(4^{x-1}\cdot 5^{\frac{1}{x}-1}\right)⩾{\log }_{4}1.$$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а ${\log }_4{5}^k=k{\log }_{4}5$:

$$x-1+\left(\frac{1}{x}-1\right){\log }_{4}5⩾0.$$

Заметим, что $\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=-\frac{x-1}{x}$. Вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)-\frac{(x-1){\log }_{4}5}{x}⩾0\iff (x-1)\cdot \frac{x-{\log }_{4}5}{x}⩾0\iff \frac{(x-1)\left(x-{\log }_{4}5\right)}{x}⩾0.$$

Перед методом интервалов выясним, как расположены точки $1$ и ${\log }_{4}5$. Так как $1={\log }_{4}4$, а $4<5$ и логарифм по основанию $4$ возрастает, то $1<{\log }_{4}5$.

Нули числителя $1$ и ${\log }_{4}5$ закрашены (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $0$ выколот. При больших $x$ все множители положительны, дальше знаки чередуются, так как все корни простые:

Получаем $0<x⩽1$ или $x⩾{\log }_{4}5$. Условие $x\ne 0$ выполнено.

Ответ: $(0;1]\cup \left[{\log }_{4}5;+\infty \right)$.