Решите неравенство (9^x-3^(x+2)+8)/(log_1/6²(5^x-2)+log_1/6(5^x-2)²+1)≤0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя 2026 развёрнутое

Решите неравенство $\frac{9 ^{x} - 3 ^{x + 2} + 8}{lo g _{\frac{1}{6}}^{2} ( 5 ^{x} - 2 ) + lo g _{\frac{1}{6}} ( 5 ^{x} - 2 ) ^{2} + 1} ⩽ 0.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2)$ должен быть положительным: $5^{x} - 2 > 0$ . Аргумент второго логарифма $(5^{x} - 2)^{2}$ при этом тоже положителен, отдельного условия он не даёт. Ещё нужно, чтобы знаменатель не обращался в ноль, — это условие удобнее записать после того, как мы упростим знаменатель.

Преобразуем знаменатель. На ОДЗ $5^{x} - 2 > 0$ , поэтому по свойству логарифма степени $lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$ (при $b > 0$ ) получаем

$lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2)^{2} = 2 lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2) .$

Обозначим $y = lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2)$ . Знаменатель равен $y^{2} + 2 y + 1$ , а это полный квадрат по формуле $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ :

$lo g_{\frac{1}{6}}^{2} (5^{x} - 2) + 2 lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2) + 1 = (lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2) + 1)^{2} .$

Знаменатель равен нулю, когда $lo g_{\frac{1}{6}} (5^{x} - 2) = - 1$ . По определению логарифма это значит

$5^{x} - 2 = (\frac{1}{6})^{- 1} = 6 \Leftrightarrow 5^{x} = 8 \Leftrightarrow x = lo g_{5} 8.$

Условие $5^{x} > 2$ запишем как $5^{x} > 5^{l o g_{5} 2}$ . Функция $y = 5^{x}$ возрастает, так как $5 > 1$ , поэтому $x > lo g_{5} 2$ . Так как $2 < 8$ , то $lo g_{5} 2 < lo g_{5} 8$ , и выколотая точка $lo g_{5} 8$ лежит внутри луча:

Решение на числовой прямой

ОДЗ: $x \in (lo g_{5} 2; lo g_{5} 8) \cup (lo g_{5} 8; + \infty)$ .

Преобразуем числитель. Так как $9^{x} = (3^{x})^{2}$ и $3^{x + 2} = 3^{2} \cdot 3^{x} = 9 \cdot 3^{x}$ , числитель — квадратный трёхчлен относительно $3^{x}$ :

$9^{x} - 3^{x + 2} + 8 = (3^{x})^{2} - 9 \cdot 3^{x} + 8.$

Корни трёхчлена $t^{2} - 9 t + 8$ равны $1$ и $8$ (по теореме Виета их сумма $9$ , произведение $8$ ), поэтому

$(3^{x})^{2} - 9 \cdot 3^{x} + 8 = (3^{x} - 1) (3^{x} - 8) .$

Неравенство принимает вид

$\frac{( 3 ^{x} - 1 ) ( 3 ^{x} - 8 )}{( lo g _{\frac{1}{6}} ( 5 ^{x} - 2 ) + 1 ) ^{2}} ⩽ 0.$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он положителен. Умножим обе части на него, знак неравенства сохранится. На ОДЗ неравенство равносильно

$(3^{x} - 1) (3^{x} - 8) ⩽ 0.$

Применим метод рационализации. Запишем $1 = 3^{0}$ и $8 = 3^{l o g_{3} 8}$ . Функция $y = 3^{x}$ возрастает (основание $3 > 1$ ), поэтому разность $3^{x} - 3^{c}$ имеет тот же знак, что и $(3 - 1) (x - c)$ , то есть тот же знак, что и $x - c$ . Заменим каждую скобку выражением того же знака:

$(3^{x} - 3^{0}) (3^{x} - 3^{l o g_{3} 8}) ⩽ 0 \Leftrightarrow x (x - lo g_{3} 8) ⩽ 0.$

Решим методом интервалов, точки закрашены, так как неравенство нестрогое:

Метод интервалов

Получаем $0 ⩽ x ⩽ lo g_{3} 8$ .

Осталось пересечь с ОДЗ. Для этого сравним числа. Во-первых, $lo g_{5} 2 > lo g_{5} 1 = 0$ . Во-вторых, перейдём к основанию $2$ :

$lo g_{5} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 5} = \frac{3}{lo g _{2} 5}, lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3} = \frac{3}{lo g _{2} 3} .$

Так как $0 < lo g_{2} 3 < lo g_{2} 5$ , то $\frac{3}{lo g _{2} 3} > \frac{3}{lo g _{2} 5}$ , то есть $lo g_{5} 8 < lo g_{3} 8$ . Итак, $0 < lo g_{5} 2 < lo g_{5} 8 < lo g_{3} 8$ .

Пересечём отрезок $[0; lo g_{3} 8]$ с ОДЗ:

Решение на числовой прямой

Ответ: $(lo g_{5} 2; lo g_{5} 8) \cup (lo g_{5} 8; lo g_{3} 8]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16