ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов $16x$, $x$, $8x$ положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{2}x+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0,\\ x\ne \frac{1}{2}.\end{array}$$

Здесь ${\log }_{2}x\ne -1={\log }_2\frac{1}{2}$ означает $x\ne \frac{1}{2}$.

По формуле логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

$${\log }_2(16x)={\log }_{2}16+{\log }_{2}x=4+{\log }_{2}x,{\log }_2(8x)={\log }_{2}8+{\log }_{2}x=3+{\log }_{2}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$, где $t\ne -1$. Первый множитель равен $\frac{4+t-2}{t+1}=\frac{t+2}{t+1}$, второй — $t^2+3+t-3=t^2+t=t(t+1)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t+2}{t+1}\cdot t(t+1)⩽0.$$

При $t\ne -1$ множитель $t+1$ можно сократить:

$$t(t+2)⩽0,t\ne -1.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $-2⩽t⩽0$. Учтём, что $t\ne -1$ — эту точку выкалываем:

$$[\begin{array}{l}-2⩽t<-1,\\ -1<t⩽0.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $-2={\log }_2\frac{1}{4}$, $-1={\log }_2\frac{1}{2}$, $0={\log }_{2}1$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому

$$[\begin{array}{l}{\log }_2\frac{1}{4}⩽{\log }_{2}x<{\log }_2\frac{1}{2},\\ {\log }_2\frac{1}{2}<{\log }_{2}x⩽{\log }_{2}1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{1}{4}⩽x<\frac{1}{2},\\ \frac{1}{2}<x⩽1.\end{array}$$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};1\right]$.