ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю.

$$\{\begin{array}{l}6x-20>0,\\ x-3>0,\\ {\log }_7(x-3)\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{10}{3},\\ x>3,\\ x-3\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{10}{3},\\ x\ne 4.\end{array}$$

Здесь ${\log }_7(x-3)\ne 0$ означает $x-3\ne 1$, а условие $x>3$ следует из $x>\frac{10}{3}$.

ОДЗ: $x\in \left(\frac{10}{3};4\right)\cup (4;+\infty )$.

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{{\log }_7(6x-20)-{\log }_7(x-3)}{{\log }_7(x-3)}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Основание $7>1$, логарифм возрастает, поэтому на ОДЗ разность ${\log }_{7}f-{\log }_{7}g$ имеет тот же знак, что и $f-g$ (и обращается в ноль одновременно с ней). Знаменатель запишем как ${\log }_7(x-3)-{\log }_{7}1$, его знак совпадает со знаком $(x-3)-1$. Получаем равносильное на ОДЗ неравенство

$$\frac{(6x-20)-(x-3)}{(x-3)-1}⩾0\iff \frac{5x-17}{x-4}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=\frac{17}{5}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=4$ выкалываем. При $x>4$ дробь положительна:

Получаем $x\in \left(-\infty ;\frac{17}{5}\right]\cup (4;+\infty )$.

Пересечём с ОДЗ. Сравним $\frac{10}{3}=\frac{50}{15}$ и $\frac{17}{5}=\frac{51}{15}$: точка $\frac{17}{5}$ правее, поэтому от левого луча остаётся промежуток $\left(\frac{10}{3};\frac{17}{5}\right]$.

Ответ: $\left(\frac{10}{3};\frac{17}{5}\right]\cup (4;+\infty )$.