ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x\ne 0$, иначе не определены показатели $\frac{2}{x}$ и $\frac{1+x}{x}$.

Преобразуем степени по свойствам $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и $a^{nm}={\left(a^n\right)}^m$:

$$4^{\frac{1+x}{x}}=4^{1+\frac{1}{x}}=4\cdot 4^{\frac{1}{x}},4^{\frac{2}{x}}={\left(4^{\frac{1}{x}}\right)}^2.$$

Перенесём всё в левую часть:

$${\left(4^{\frac{1}{x}}\right)}^2-4\cdot 4^{\frac{1}{x}}+3⩾0.$$

Сделаем замену $t=4^{\frac{1}{x}}$, где $t>0$:

$$t^2-4t+3⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $1$ и $3$ (сумма $4$, произведение $3$), поэтому

$$(t-1)(t-3)⩾0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $t⩽1$ или $t⩾3$. Условие $t>0$ выполняется автоматически.

Сделаем обратную замену. Запишем $1=4^0$ и, по основному логарифмическому тождеству, $3=4^{{\log }_{4}3}$. Основание $4>1$, функция $y=4^u$ возрастает, поэтому

$$[\begin{array}{l}{4}^{\frac{1}{x}}⩽4^0,\\ 4^{\frac{1}{x}}⩾4^{{\log }_{4}3}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{1}{x}⩽0,\\ \frac{1}{x}⩾{\log }_{4}3.\end{array}$$

Первое неравенство совокупности. Дробь $\frac{1}{x}$ не обращается в ноль, поэтому $\frac{1}{x}⩽0$ означает $\frac{1}{x}<0$, то есть $x<0$.

Второе неравенство совокупности. По формуле ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ имеем ${\log }_{4}3=\frac{1}{{\log }_{3}4}$. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{{\log }_{3}4}⩾0\iff \frac{{\log }_{3}4-x}{x{\log }_{3}4}⩾0.$$

Так как $4>3$ и основание $3>1$, то ${\log }_{3}4>{\log }_{3}3=1>0$. Умножим обе части на ${\log }_{3}4>0$:

$$\frac{{\log }_{3}4-x}{x}⩾0.$$

Нуль числителя $x={\log }_{3}4$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=0$ выкалываем. При $x>{\log }_{3}4$ числитель отрицателен, дробь отрицательна:

Получаем $0<x⩽{\log }_{3}4$.

Объединим решения двух неравенств: $x<0$ или $0<x⩽{\log }_{3}4$. Все эти значения удовлетворяют ОДЗ $x\ne 0$.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left(0;{\log }_{3}4\right]$.