ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x\ne 1$, иначе знаменатель равен нулю.

Выразим все степени через $3^x$: $3^{3x}={\left(3^x\right)}^3$, $9^x={\left(3^x\right)}^2$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x$, поэтому $7\cdot 3^{x+2}=63\cdot 3^x$. Обозначим $t=3^x$, где $t>0$. Числитель равен

$$t^3-15t^2+63t-81.$$

Подберём корень среди делителей свободного члена $81$. При $t=3$ получаем $27-135+189-81=0$, значит, многочлен делится на $t-3$. Выполнив деление, получим

$$t^3-15t^2+63t-81=(t-3)\left(t^2-12t+27\right).$$

Проверим: $(t-3)\left(t^2-12t+27\right)=t^3-12t^2+27t-3t^2+36t-81=t^3-15t^2+63t-81$.

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-12t+27$ равны $3$ и $9$ (сумма $12$, произведение $27$), поэтому $t^2-12t+27=(t-3)(t-9)$. Итак, числитель равен $(t-3{)}^2(t-9)$, и неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(3^x-3\right)}^2\left(3^x-9\right)}{x-1}⩽0.$$

На ОДЗ $x\ne 1$, поэтому $3^x\ne 3^1$ и ${\left(3^x-3\right)}^2>0$. Разделим обе части на этот положительный множитель, знак неравенства сохранится:

$$\frac{3^x-9}{x-1}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основание $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, поэтому разность $3^x-3^2$ положительна при $x>2$, отрицательна при $x<2$ и равна нулю при $x=2$. Значит, она имеет тот же знак, что и $x-2$, и неравенство равносильно

$$\frac{x-2}{x-1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=2$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=1$ выкалываем. При $x>2$ дробь положительна:

Получаем $1<x⩽2$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1;2]$.