ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}11x^2+10>0,\\ x^2+x+1>0,\\ \frac{x}{x+8}+10>0.\end{array}$$

Первое неравенство верно при всех $x$, так как $x^2⩾0$. Второе тоже верно при всех $x$: дискриминант трёхчлена $D=1-4=-3<0$, а старший коэффициент положителен.

Третье неравенство приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+10(x+8)}{x+8}>0\iff \frac{11x+80}{x+8}>0.$$

Нули числителя и знаменателя: $x=-\frac{80}{11}$ и $x=-8$, обе точки выкалываем. Так как $-8=-\frac{88}{11}<-\frac{80}{11}$, точка $-8$ левее. При больших $x$ дробь положительна:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-8)\cup \left(-\frac{80}{11};+\infty \right)$.

На ОДЗ воспользуемся свойством ${\log }_{7}a-{\log }_{7}b={\log }_7\frac{a}{b}$ (при $a>0$, $b>0$):

$${\log }_7\frac{11x^2+10}{x^2+x+1}⩾{\log }_7\frac{11x+80}{x+8}.$$

Основание $7>1$, логарифм возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком:

$$\frac{11x^2+10}{x^2+x+1}⩾\frac{11x+80}{x+8}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\left(11x^2+10\right)(x+8)-(11x+80)\left(x^2+x+1\right)}{(x+8)\left(x^2+x+1\right)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\left(11x^2+10\right)(x+8)=11x^3+88x^2+10x+80,$$

$$(11x+80)\left(x^2+x+1\right)=11x^3+91x^2+91x+80.$$

Разность равна $-3x^2-81x=-3x(x+27)$. Получаем

$$\frac{-3x(x+27)}{(x+8)\left(x^2+x+1\right)}⩾0.$$

Множитель $x^2+x+1$ положителен при всех $x$, поэтому обе части можно умножить на него, знак неравенства сохранится. Разделим обе части на $-3<0$, знак неравенства сменится:

$$\frac{x(x+27)}{x+8}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-27$ и $x=0$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-8$ выкалываем. При $x>0$ дробь положительна, все корни простые:

Получаем $x\in (-\infty ;-27]\cup (-8;0]$.

Пересечём с ОДЗ. Луч $(-\infty ;-27]$ лежит в ОДЗ целиком. Из промежутка $(-8;0]$ выпадают точки $-8<x⩽-\frac{80}{11}$:

Ответ: $(-\infty ;-27]\cup \left(-\frac{80}{11};0\right]$.