ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-13x+42>0,\\ \frac{(x-7{)}^7}{x-6}>0.\end{array}$$

По теореме Виета корни трёхчлена $x^2-13x+42$ равны $6$ и $7$ (сумма $13$, произведение $42$), поэтому $x^2-13x+42=(x-6)(x-7)$. Степень $7$ нечётная, поэтому $(x-7{)}^7$ имеет тот же знак, что и $x-7$. Система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}(x-6)(x-7)>0,\\ \frac{x-7}{x-6}>0.\end{array}$$

Произведение и частное двух чисел имеют одинаковый знак, поэтому оба неравенства задают одно и то же множество. Решим методом интервалов, точки выкалываем:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;6)\cup (7;+\infty )$.

Преобразуем неравенство на ОДЗ. По свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$)

$$7{\log }_{12}((x-6)(x-7))={\log }_{12}((x-6{)}^7(x-7{)}^7).$$

Перенесём логарифм из правой части влево и воспользуемся свойством ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_{12}((x-6{)}^7(x-7{)}^7)-{\log }_{12}\frac{(x-7{)}^7}{x-6}={\log }_{12}\frac{(x-6{)}^7(x-7{)}^7(x-6)}{(x-7{)}^7}={\log }_{12}(x-6{)}^8.$$

Множитель $(x-7{)}^7$ сократился, так как на ОДЗ $x\ne 7$. Запишем $8={\log }_{12}12^8$. Неравенство принимает вид

$${\log }_{12}(x-6{)}^8⩽{\log }_{12}12^8.$$

Основание $12>1$, логарифм возрастает, поэтому

$$(x-6{)}^8⩽12^8\iff (x-6{)}^8-12^8⩽0.$$

Дважды применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x-6{)}^8-12^8=\left((x-6{)}^4-12^4\right)\left((x-6{)}^4+12^4\right)=\left((x-6{)}^2-12^2\right)\left((x-6{)}^2+12^2\right)\left((x-6{)}^4+12^4\right).$$

Множители $(x-6{)}^2+12^2⩾12^2>0$ и $(x-6{)}^4+12^4⩾12^4>0$ положительны при всех $x$, на них можно разделить, знак неравенства сохранится:

$$(x-6{)}^2-12^2⩽0\iff (x-6-12)(x-6+12)⩽0\iff (x-18)(x+6)⩽0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $-6⩽x⩽18$. Пересечём с ОДЗ: из отрезка выпадает промежуток $[6;7]$.

Ответ: $[-6;6)\cup (7;18]$.