ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём множества решений.

Первое неравенство. Так как $36=6^2$, то $36^{x-\frac{1}{2}}=6^{2x-1}=\frac{{\left(6^x\right)}^2}{6}$, а $6^{x-1}=\frac{6^x}{6}$. Сделаем замену $t=6^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2}{6}-\frac{7t}{6}+1⩾0.$$

Умножим обе части на $6>0$:

$$t^2-7t+6⩾0.$$

По теореме Виета корни равны $1$ и $6$ (сумма $7$, произведение $6$), поэтому

$$(t-1)(t-6)⩾0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $t⩽1$ или $t⩾6$. Сделаем обратную замену. Основание $6>1$, функция $y=6^x$ возрастает, поэтому

$$[\begin{array}{l}{6}^x⩽6^0,\\ 6^x⩾6^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ x⩾1.\end{array}$$

Второе неравенство. Найдём ОДЗ: аргумент логарифма положителен,

$$5-3x-x^2>0\iff x^2+3x-5<0.$$

Дискриминант $D=9+20=29$, корни $x=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2}$. Ветви параболы $y=x^2+3x-5$ направлены вверх, поэтому она отрицательна между корнями:

ОДЗ: $x\in \left(\frac{-3-\sqrt{29}}{2};\frac{-3+\sqrt{29}}{2}\right)$.

Применим метод рационализации. При основании $a>1$ логарифм ${\log }_{a}u$ положителен при $u>1$, отрицателен при $0<u<1$ и равен нулю при $u=1$. Значит, на ОДЗ ${\log }_{4}u$ имеет тот же знак, что и $(4-1)(u-1)$. Заменим логарифм на этот множитель:

$$x\cdot 3\left(5-3x-x^2-1\right)⩾0\iff x\left(4-3x-x^2\right)⩾0.$$

Разделим на $3>0$ и умножим на $-1$, сменив знак неравенства:

$$x\left(x^2+3x-4\right)⩽0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $x^2+3x-4$ равны $-4$ и $1$, поэтому

$$x(x+4)(x-1)⩽0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем. При $x>1$ все множители положительны, корни простые:

Получаем $x\in (-\infty ;-4]\cup [0;1]$.

Пересечём с ОДЗ. Сравним концы. Так как $\sqrt{29}>\sqrt{25}=5$, то $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}<\frac{-3-5}{2}=-4$ и $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}>\frac{-3+5}{2}=1$. Значит, точки $-4$, $0$ и $1$ лежат внутри ОДЗ:

Решение второго неравенства: $x\in \left(\frac{-3-\sqrt{29}}{2};-4\right]\cup [0;1]$.

Пересечение. Решение первого неравенства: $x⩽0$ или $x⩾1$. Промежуток $\left(\frac{-3-\sqrt{29}}{2};-4\right]$ целиком лежит левее нуля и входит в ответ. Из отрезка $[0;1]$ первому неравенству удовлетворяют только его концы $x=0$ и $x=1$, внутренние точки $0<x<1$ не подходят.

Ответ: $\left(\frac{-3-\sqrt{29}}{2};-4\right]\cup \{0;1\}$.