ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма ${\log }_{5}x$ и аргумент внутреннего логарифма $x$ должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{5}x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0,\\ x>1\end{array}\iff x>1.$$

Здесь ${\log }_{5}x>0={\log }_{5}1$ равносильно $x>1$, так как основание $5>1$ и логарифм возрастает.

На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (оно верно при $b>0$, а ${\log }_{5}x>0$ на ОДЗ):

$$5^{{\log }_5\left({\log }_{5}x\right)}={\log }_{5}x.$$

Приведём второй логарифм к основанию $5$. Так как $0,2=5^{-1}$, а ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$, то ${\log }_{0,2}x=-{\log }_{5}x$. Значит, ${\log }_{0,2}^{2}x={\left(-{\log }_{5}x\right)}^2={\log }_5^{2}x$.

Сделаем замену $t={\log }_{5}x$. Из ОДЗ $t>0$. Неравенство принимает вид

$$t+t^2-12⩽0\iff t^2+t-12⩽0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $-4$ и $3$ (сумма $-1$, произведение $-12$), поэтому

$$(t+4)(t-3)⩽0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $-4⩽t⩽3$. С учётом $t>0$ остаётся $0<t⩽3$:

Сделаем обратную замену. Запишем $0={\log }_{5}1$, $3={\log }_{5}125$. Основание $5>1$, логарифм возрастает, поэтому

$${\log }_{5}1<{\log }_{5}x⩽{\log }_{5}125\iff 1<x⩽125.$$

Все эти значения удовлетворяют ОДЗ $x>1$.

Ответ: $(1;125]$.