ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Так как $9^x={\left(3^x\right)}^2$, сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2+2t-117}{t-27}⩽1.$$

Знаменатель не равен нулю: $t\ne 27$. Его знак заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t^2+2t-117-(t-27)}{t-27}⩽0\iff \frac{t^2+t-90}{t-27}⩽0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+t-90$ равны $9$ и $-10$ (сумма $-1$, произведение $-90$), поэтому

$$\frac{(t-9)(t+10)}{t-27}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=-10$ и $t=9$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=27$ выкалываем. При $t>27$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Получаем $t⩽-10$ или $9⩽t<27$. С учётом $t>0$ остаётся $9⩽t<27$.

Сделаем обратную замену. Запишем $9=3^2$, $27=3^3$. Основание $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$3^2⩽3^x<3^3\iff 2⩽x<3.$$

Ответ: $[2;3)$.