Решите неравенство 45^x·27-27^(x+1)-12·15^x+12·9^x+5^x-3^x≤0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Показательные неравенства сложная 2020 развёрнутое

Решите неравенство

$4 5^{x} \cdot 27 - 2 7^{x + 1} - 12 \cdot 1 5^{x} + 12 \cdot 9^{x} + 5^{x} - 3^{x} ⩽ 0$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$ . Сгруппируем слагаемые попарно, учитывая, что $2 7^{x + 1} = 27 \cdot 2 7^{x}$ :

$27 (4 5^{x} - 2 7^{x}) - 12 (1 5^{x} - 9^{x}) + (5^{x} - 3^{x}) ⩽ 0.$

Разложим основания на множители и воспользуемся свойством $(ab)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$ : $4 5^{x} = 9^{x} \cdot 5^{x}$ , $2 7^{x} = 9^{x} \cdot 3^{x}$ , $1 5^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x}$ , $9^{x} = 3^{x} \cdot 3^{x}$ . Тогда

$27 (4 5^{x} - 2 7^{x}) = 27 \cdot 9^{x} (5^{x} - 3^{x}), 12 (1 5^{x} - 9^{x}) = 12 \cdot 3^{x} (5^{x} - 3^{x}) .$

Вынесем общий множитель $5^{x} - 3^{x}$ за скобки:

$(5^{x} - 3^{x}) (27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1) ⩽ 0.$

Разложим второй множитель. Обозначим $t = 3^{x}$ , тогда $9^{x} = t^{2}$ и множитель равен $27 t^{2} - 12 t + 1$ . Его дискриминант $D = 144 - 108 = 36$ , корни $t = \frac{12 \pm 6}{54}$ , то есть $t = \frac{1}{3}$ и $t = \frac{1}{9}$ . Значит,

$27 t^{2} - 12 t + 1 = 27 (t - \frac{1}{9}) (t - \frac{1}{3}) = 27 (3^{x} - 3^{- 2}) (3^{x} - 3^{- 1}) .$

Разделим неравенство на $27 > 0$ :

$(5^{x} - 3^{x}) (3^{x} - 3^{- 2}) (3^{x} - 3^{- 1}) ⩽ 0.$

Первый множитель приведём к одному основанию: $5^{x} - 3^{x} = 3^{x} ((\frac{5}{3})^{x} - 1)$ , а $3^{x} > 0$ , поэтому знак первого множителя совпадает со знаком $(\frac{5}{3})^{x} - (\frac{5}{3})^{0}$ .

Применим метод рационализации. Если $a > 1$ , то функция $y = a^{u}$ возрастает, поэтому разность $a^{u} - a^{v}$ положительна при $u > v$ , отрицательна при $u < v$ и равна нулю при $u = v$ . Значит, $a^{u} - a^{v}$ имеет тот же знак, что и $u - v$ . Заменим каждый множитель на множитель того же знака:

$(\frac{5}{3})^{x} - (\frac{5}{3})^{0}$ — на $x - 0 = x$ , так как $\frac{5}{3} > 1$ ;
$3^{x} - 3^{- 2}$ — на $x + 2$ , так как $3 > 1$ ;
$3^{x} - 3^{- 1}$ — на $x + 1$ .

Нули множителей при такой замене тоже сохраняются, поэтому получаем равносильное неравенство

$x (x + 2) (x + 1) ⩽ 0.$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, корни закрашиваем. При $x > 0$ все множители положительны, корни простые, знаки чередуются:

Метод интервалов

Ответ: $(- \infty; - 2] \cup [- 1; 0]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16