ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=9^{x-1}$, где $t>0$. Выразим через $t$ знаменатель. Так как $81=9^2$,

$$81^{x-\frac{1}{2}}=9^{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=9^{2x-1}=9\cdot 9^{2x-2}=9\cdot {\left(9^{x-1}\right)}^2=9t^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{6t-10}{9t^2-9}⩽1.$$

Знаменатель не равен нулю: $t\ne \pm 1$. Его знак заранее неизвестен, поэтому перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{6t-10-\left(9t^2-9\right)}{9\left(t^2-1\right)}⩽0\iff \frac{-9t^2+6t-1}{9(t-1)(t+1)}⩽0.$$

Числитель — полный квадрат со знаком минус: $-9t^2+6t-1=-\left(9t^2-6t+1\right)=-(3t-1{)}^2$. Умножим обе части на $-9<0$, знак неравенства сменится на противоположный:

$$\frac{(3t-1{)}^2}{(t-1)(t+1)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=\frac{1}{3}$ закрашиваем: в нём дробь равна нулю, а неравенство нестрогое. Это корень чётной кратности, знак через него не меняется. Нули знаменателя $t=\pm 1$ выкалываем. При $t>1$ дробь положительна:

Получаем $t<-1$, $t=\frac{1}{3}$ или $t>1$. С учётом $t>0$:

$$[\begin{array}{l}t=\frac{1}{3},\\ t>1.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $\frac{1}{3}=9^{-\frac{1}{2}}$ (так как $9^{\frac{1}{2}}=3$) и $1=9^0$. Основание $9>1$, функция $y=9^u$ возрастает, поэтому

$$[\begin{array}{l}{9}^{x-1}=9^{-\frac{1}{2}},\\ 9^{x-1}>9^0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x-1=-\frac{1}{2},\\ x-1>0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{2},\\ x>1.\end{array}$$

Ответ: $\left\{\frac{1}{2}\right\}\cup (1;+\infty )$.