ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5⩾0,\\ \sqrt{x^2-5}\ne 1.\end{array}$$

Сделаем замену $t=\sqrt{x^2-5}$, где $t⩾0$ и $t\ne 1$:

$$t>3+\frac{1}{1-t}.$$

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(t-3)(1-t)-1}{1-t}>0.$$

Раскроем скобки в числителе: $(t-3)(1-t)=t-t^2-3+3t=-t^2+4t-3$, значит, числитель равен $-t^2+4t-4=-\left(t^2-4t+4\right)=-(t-2{)}^2$. Получаем

$$\frac{-(t-2{)}^2}{1-t}>0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $-1$, значение дроби не изменится:

$$\frac{(t-2{)}^2}{t-1}>0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство строгое, поэтому нуль числителя $t=2$ выкалываем. Это корень чётной кратности, при переходе через него знак не меняется. Нуль знаменателя $t=1$ тоже выкалываем. При $t>2$ дробь положительна:

Получаем $t>1$, $t\ne 2$. Условие $t⩾0$ здесь выполнено.

Сделаем обратную замену:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2-5}>1,\\ \sqrt{x^2-5}\ne 2.\end{array}$$

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат с сохранением знака:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5>1,\\ x^2-5\ne 4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2>6,\\ x^2\ne 9.\end{array}$$

Условие ОДЗ $x^2⩾5$ следует из $x^2>6$. Решим $x^2>6$, то есть $\left(x-\sqrt{6}\right)\left(x+\sqrt{6}\right)>0$:

Получаем $x<-\sqrt{6}$ или $x>\sqrt{6}$. Условие $x^2\ne 9$ означает $x\ne \pm 3$. Так как $9>6$, то $3>\sqrt{6}$, и обе точки $\pm 3$ лежат внутри найденных лучей — их нужно выколоть:

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup \left(-3;-\sqrt{6}\right)\cup \left(\sqrt{6};3\right)\cup (3;+\infty )$.