ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x\ne 0$, иначе не определена дробь $\frac{1}{x}$.

По свойству степени ${\left(a^n\right)}^m={\left(a^m\right)}^n$ запишем первое слагаемое через степень пятёрки:

$$25^{\frac{1}{x}-1}={\left(5^2\right)}^{\frac{1}{x}-1}={\left(5^{\frac{1}{x}-1}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=5^{\frac{1}{x}-1}$, где $t>0$:

$$t^2-3t+2⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $1$ и $2$ (сумма $3$, произведение $2$), поэтому

$$(t-1)(t-2)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, корни закрашиваем:

Получаем $t⩽1$ или $t⩾2$. Условие $t>0$ выполняется автоматически, так как $t$ — значение показательной функции.

Сделаем обратную замену. Запишем $1=5^0$ и, по основному логарифмическому тождеству, $2=5^{{\log }_{5}2}$. Основание $5>1$, функция $y=5^u$ возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны неравенствам между показателями с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}{5}^{\frac{1}{x}-1}⩽5^0,\\ 5^{\frac{1}{x}-1}⩾5^{{\log }_{5}2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1⩽0,\\ \frac{1}{x}-1⩾{\log }_{5}2.\end{array}$$

Решим первое неравенство совокупности. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1-x}{x}⩽0.$$

Нуль числителя $x=1$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=0$ выкалываем. При $x>1$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна:

Получаем $x\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )$.

Решим второе неравенство совокупности. По свойству суммы логарифмов $1+{\log }_{5}2={\log }_{5}5+{\log }_{5}2={\log }_{5}10$, поэтому

$$\frac{1}{x}⩾{\log }_{5}10\iff \frac{1-x{\log }_{5}10}{x}⩾0.$$

Так как $5>1$ и $10>1$, то ${\log }_{5}10>0$. Разделим числитель на это положительное число, знак дроби не изменится. По формуле $\frac{1}{{\log }_{b}a}={\log }_{a}b$ имеем $\frac{1}{{\log }_{5}10}={\log }_{10}5=\lg 5$:

$$\frac{\lg 5-x}{x}⩾0.$$

Нуль числителя $x=\lg 5$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=0$ выкалываем. Так как $\lg 5>\lg 1=0$, точка $\lg 5$ лежит правее нуля. При $x>\lg 5$ числитель отрицателен, дробь отрицательна:

Получаем $x\in (0;\lg 5]$.

Объединим решения. Так как $\lg 5<\lg 10=1$, промежуток $(0;\lg 5]$ лежит между точками $0$ и $1$. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ $x\ne 0$.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup (0;\lg 5]\cup [1;+\infty )$.