ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Выразим все степени через $2^x$. По свойствам степени $2^{x+1}=2\cdot 2^x$, $2^{2-x}=\frac{2^2}{2^x}=\frac{4}{2^x}$, $2^{6-x}=\frac{2^6}{2^x}=\frac{64}{2^x}$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2\cdot 2^x+\frac{68}{2^x}}{2^x-\frac{64}{2^x}}⩾1.$$

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$:

$$\frac{2t+\frac{68}{t}}{t-\frac{64}{t}}⩾1.$$

Умножим числитель и знаменатель большой дроби на $t\ne 0$ — значение дроби от этого не меняется:

$$\frac{2t^2+68}{t^2-64}⩾1.$$

Знаменатель может быть любого знака, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t^2+68-\left(t^2-64\right)}{t^2-64}⩾0\iff \frac{t^2+132}{t^2-64}⩾0.$$

Числитель $t^2+132>0$ при всех $t$, значит, дробь в ноль не обращается, а её знак совпадает со знаком знаменателя. Неравенство равносильно условию

$$t^2-64>0\iff (t-8)(t+8)>0.$$

Решим методом интервалов, точки выкалываем:

Получаем $t<-8$ или $t>8$. С учётом $t>0$ остаётся $t>8$.

Сделаем обратную замену: $2^x>8=2^3$. Основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому $x>3$.

Заметим, что исходный знаменатель $2^x-2^{6-x}$ обращается в ноль только при $t=8$, то есть при $x=3$, а эта точка в ответ не входит.

Ответ: $(3;+\infty )$.