ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_2^{2}x>0,\\ {\log }_2(2x)\ne 0.\end{array}$$

Квадрат неотрицателен, поэтому ${\log }_2^{2}x>0$ равносильно ${\log }_{2}x\ne 0$, то есть $x\ne 1$. Условие ${\log }_2(2x)\ne 0$ означает $2x\ne 1$, то есть $x\ne \frac{1}{2}$. Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne 1$.

На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (оно верно при $b>0$, а положительность ${\log }_2^{2}x$ мы обеспечили в ОДЗ):

$$2^{{\log }_2\left({\log }_2^{2}x\right)}={\log }_2^{2}x.$$

По свойству логарифма произведения ${\log }_2(2x)={\log }_{2}2+{\log }_{2}x=1+{\log }_{2}x$. Неравенство принимает вид

$${\log }_2^{2}x+\frac{2}{1+{\log }_{2}x}⩽2.$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$. Из ОДЗ $t\ne 0$ (так как $x\ne 1$) и $t\ne -1$ (так как $x\ne \frac{1}{2}$):

$$t^2+\frac{2}{t+1}⩽2.$$

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому на него не умножаем. Перенесём $2$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\left(t^2-2\right)(t+1)+2}{t+1}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе: $\left(t^2-2\right)(t+1)+2=t^3+t^2-2t-2+2=t^3+t^2-2t=t\left(t^2+t-2\right)$. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+t-2$ равны $-2$ и $1$ (их сумма $-1$, произведение $-2$), поэтому $t^2+t-2=(t+2)(t-1)$. Получаем

$$\frac{t(t+2)(t-1)}{t+1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=-2$, $t=0$, $t=1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя $t=-1$ выкалываем. При $t>1$ все множители положительны, все корни простые, поэтому знаки чередуются:

Получаем $t\in [-2;-1)\cup [0;1]$. Учтём ограничение $t\ne 0$ из ОДЗ:

$$[\begin{array}{l}-2⩽t<-1,\\ 0<t⩽1.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $2$: $-2={\log }_2\frac{1}{4}$, $-1={\log }_2\frac{1}{2}$, $0={\log }_{2}1$, $1={\log }_{2}2$. Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2\frac{1}{4}⩽{\log }_{2}x<{\log }_2\frac{1}{2},\\ {\log }_{2}1<{\log }_{2}x⩽{\log }_{2}2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{1}{4}⩽x<\frac{1}{2},\\ 1<x⩽2.\end{array}$$

Все найденные значения положительны и не совпадают с выколотыми точками $\frac{1}{2}$ и $1$, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)\cup (1;2]$.