ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Аргумент левого логарифма — куб разности: по формуле $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=x$, $b=1$

$$x^3-3x^2+3x-1=x^3-3\cdot 1\cdot x^2+3\cdot 1^2\cdot x-1^3=(x-1{)}^3.$$

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^3>0,\\ x^2-1>0.\end{array}$$

Куб имеет тот же знак, что и само число, поэтому первое условие равносильно $x>1$. Второе условие по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)>0$. Решим его методом интервалов, точки выколоты:

Получаем $x<-1$ или $x>1$. Вместе с первым условием ОДЗ: $x>1$.

Приведём левый логарифм к основанию $2$. Так как $8=2^3$, по свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$)

$${\log }_8(x-1{)}^3={\log }_{2^3}(x-1{)}^3=\frac{1}{3}\cdot 3{\log }_2(x-1)={\log }_2(x-1).$$

Запишем $5={\log }_{2}32$ и перенесём его в левую часть. На ОДЗ $x-1>0$, поэтому сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, а $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$${\log }_2(x-1)+{\log }_{2}32⩾{\log }_2\left(x^2-1\right)\iff {\log }_2(32(x-1))⩾{\log }_2((x-1)(x+1)).$$

Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов того же знака:

$$32(x-1)⩾(x-1)(x+1).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)(x+1)-32(x-1)⩽0\iff (x-1)(x-31)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашены (неравенство нестрогое):

Получаем $1⩽x⩽31$. Пересечём с ОДЗ $x>1$: точка $1$ выпадает, остаётся $1<x⩽31$.

Ответ: $(1;31]$.