ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен:

$$\{\begin{array}{l}(x+4{)}^2>0,\\ (x+4{)}^2\ne 1,\\ 3x^2-x-1>0.\end{array}$$

Первое условие: $x\ne -4$. Второе: $x+4\ne \pm 1$, то есть $x\ne -3$ и $x\ne -5$. Для третьего найдём корни трёхчлена $3x^2-x-1$: дискриминант $D=1+12=13$, поэтому

$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{6}.$$

Оценим корни: $3<\sqrt{13}<4$, значит, $-\frac{1}{2}<\frac{1-\sqrt{13}}{6}<-\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}<\frac{1+\sqrt{13}}{6}<\frac{5}{6}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне промежутка между корнями:

Объединим все условия. Точки $-5$, $-4$, $-3$ лежат левее $\frac{1-\sqrt{13}}{6}$, их выкалываем:

$$x\in (-\infty ;-5)\cup (-5;-4)\cup (-4;-3)\cup \left(-3;\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};+\infty \right).$$

Основание переменное, поэтому направление перехода к аргументам зависит от того, больше оно единицы или меньше. Запишем $0={\log }_{(x+4{)}^2}1$ и применим метод рационализации: при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ знак разности ${\log }_{a}b-{\log }_{a}1$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-1)$. Действительно, если $a>1$, логарифм возрастает, и ${\log }_{a}b⩽0\iff b⩽1$; если $0<a<1$, логарифм убывает, и ${\log }_{a}b⩽0\iff b⩾1$. Оба случая описывает одно неравенство $(a-1)(b-1)⩽0$. Здесь $a=(x+4{)}^2$, $b=3x^2-x-1$, поэтому на ОДЗ

$$\left((x+4{)}^2-1\right)\left(3x^2-x-1-1\right)⩽0.$$

Разложим множители. По формуле разности квадратов $(x+4{)}^2-1=(x+4-1)(x+4+1)=(x+3)(x+5)$. Трёхчлен $3x^2-x-2$ имеет дискриминант $D=1+24=25$ и корни $x=\frac{1\pm 5}{6}$, то есть $1$ и $-\frac{2}{3}$, поэтому $3x^2-x-2=(x-1)(3x+2)$. Получаем

$$(x+5)(x+3)(3x+2)(x-1)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули $-5$, $-3$, $-\frac{2}{3}$, $1$ закрашиваем (неравенство нестрогое). При $x>1$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in [-5;-3]\cup \left[-\frac{2}{3};1\right]$.

Пересечём с ОДЗ. Из отрезка $[-5;-3]$ выкалываем точки $-5$, $-4$ и $-3$. На отрезке $\left[-\frac{2}{3};1\right]$ убираем промежуток между корнями трёхчлена $3x^2-x-1$. Сравним концы: $-\frac{2}{3}<\frac{1-\sqrt{13}}{6}$, так как $-\frac{2}{3}<-\frac{1}{2}$, и $\frac{1+\sqrt{13}}{6}<1$, так как $\frac{1+\sqrt{13}}{6}<\frac{5}{6}$. Значит, от отрезка остаются промежутки $\left[-\frac{2}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)$ и $\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right]$.

Ответ: $(-5;-4)\cup (-4;-3)\cup \left[-\frac{2}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right]$.