ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргумент логарифма положителен.

$$25-5^x>0\iff 5^x<5^2\iff x<2,$$

так как функция $y=5^x$ возрастает (основание $5>1$).

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$)

$$3^{{\log }_3\left(25-5^x\right)}=25-5^x.$$

Кроме того, $25^x={\left(5^2\right)}^x={\left(5^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=5^x$. Показательная функция положительна, а по ОДЗ $5^x<25$, поэтому $0<t<25$. Неравенство принимает вид

$$25-t+t^2-45⩾0\iff t^2-t-20⩾0.$$

Корни трёхчлена по теореме Виета равны $5$ и $-4$ (сумма $1$, произведение $-20$). Значит,

$$(t-5)(t+4)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, точки закрашены. При больших $t$ произведение положительно, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽-4$ или $t⩾5$. Учтём ограничение $0<t<25$: промежуток $t⩽-4$ отпадает, остаётся $5⩽t<25$.

Сделаем обратную замену. Функция $y=5^x$ возрастает, поэтому

$$5^1⩽5^x<5^2\iff 1⩽x<2.$$

Ответ: $[1;2)$.