ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем числитель. Выразим все степени через $3^x$:

$$27^{x+1}=27\cdot {\left(3^x\right)}^3,9^{x+2}=81\cdot {\left(3^x\right)}^2,3^{x+4}=81\cdot 3^x.$$

Вынесем $27$ за скобки и воспользуемся формулой куба разности $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=3^x$, $b=1$:

$$27^{x+1}-9^{x+2}+3^{x+4}-27=27\left({\left(3^x\right)}^3-3{\left(3^x\right)}^2+3\cdot 3^x-1\right)=27{\left(3^x-1\right)}^3.$$

Преобразуем знаменатель: вынесем $0,5$ и применим формулу квадрата суммы, ведь $100x^2+140x+49=(10x{)}^2+2\cdot 10x\cdot 7+7^2$:

$$50x^2+70x+24,5=0,5\left(100x^2+140x+49\right)=0,5(10x+7{)}^2.$$

Ограничение: знаменатель не равен нулю, $10x+7\ne 0$, то есть $x\ne -0,7$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{27{\left(3^x-1\right)}^3}{0,5(10x+7{)}^2}⩽0.$$

Положительные множители $27$ и $0,5$ на знак не влияют. Применим метод рационализации: $3^x-1=3^x-3^0$, а функция $y=3^x$ возрастает, поэтому эта разность имеет тот же знак, что и $x-0=x$. Куб сохраняет знак числа. Получаем равносильное неравенство

$$\frac{x}{(10x+7{)}^2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $0$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $-0,7$ выкалываем. При $x>0$ дробь положительна. Через $0$ знак меняется, а через $-0,7$ — нет, так как множитель $(10x+7{)}^2$ стоит в чётной степени.

Получаем $x⩽0$, $x\ne -0,7$.

Ответ: $(-\infty ;-0,7)\cup (-0,7;0]$.