ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения: знаменатели не равны нулю. Корни трёхчлена $x^2-x-2$ по теореме Виета равны $2$ и $-1$ (сумма $1$, произведение $-2$), поэтому $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Значит, $x\ne 2$ и $x\ne -1$.

Разложим числитель первой дроби: вынесем $2x^2$ и применим формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$:

$$2x^4+4x^3+2x^2=2x^2\left(x^2+2x+1\right)=2x^2(x+1{)}^2.$$

При $x\ne -1$ первую дробь можно сократить на $x+1$:

$$\frac{2x^2(x+1{)}^2}{(x-2)(x+1)}=\frac{2x^2(x+1)}{x-2}.$$

Перенесём $1$ в левую часть. Исходное неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x^2(x+1)}{x-2}-\frac{x^3-x^2-3x+8}{x-2}-1⩾0,\\ x\ne -1.\end{array}$$

Приведём левую часть первого неравенства к общему знаменателю $x-2$:

$$\frac{2x^3+2x^2-\left(x^3-x^2-3x+8\right)-(x-2)}{x-2}⩾0.$$

Упростим числитель: $2x^3+2x^2-x^3+x^2+3x-8-x+2=x^3+3x^2+2x-6$. Получаем

$$\frac{x^3+3x^2+2x-6}{x-2}⩾0.$$

Подбором найдём корень числителя: при $x=1$ получаем $1+3+2-6=0$. Значит, многочлен делится на $x-1$. Выделим этот множитель группировкой:

$$x^3+3x^2+2x-6=x^2(x-1)+4x(x-1)+6(x-1)=(x-1)\left(x^2+4x+6\right).$$

У трёхчлена $x^2+4x+6$ дискриминант $D=16-24=-8<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому он положителен при всех $x$. Разделим на него, знак неравенства не изменится:

$$\frac{x-1}{x-2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $1$ закрашиваем, нуль знаменателя $2$ выкалываем. При $x>2$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $x⩽1$ или $x>2$. Учтём второе условие системы $x\ne -1$ — выколем эту точку.

Ответ: $(-\infty ;-1)\cup (-1;1]\cup (2;+\infty )$.