ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}7x^2+6>0,\\ x^2+x+1>0,\\ \frac{x}{x+4}+6>0.\end{array}$$

Первое условие верно при всех $x$, так как $7x^2+6⩾6>0$. Второе тоже: дискриминант трёхчлена $D=1-4=-3<0$, старший коэффициент положителен, значит, трёхчлен положителен при всех $x$. Третье условие приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+6(x+4)}{x+4}>0\iff \frac{7x+24}{x+4}>0.$$

Решим его методом интервалов. Неравенство строгое, поэтому нуль числителя $-\frac{24}{7}$ и нуль знаменателя $-4$ выкалываем. Заметим, что $-4<-\frac{24}{7}$, так как $\frac{24}{7}<4$. При больших $x$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-4)\cup \left(-\frac{24}{7};+\infty \right)$.

Оба аргумента в левой части положительны, поэтому по свойству разности логарифмов ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$

$${\log }_{12}\left(7x^2+6\right)-{\log }_{12}\left(x^2+x+1\right)={\log }_{12}\frac{7x^2+6}{x^2+x+1}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{12}\frac{7x^2+6}{x^2+x+1}⩾{\log }_{12}\frac{7x+24}{x+4}.$$

Основание $12>1$, функция $y={\log }_{12}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов того же знака:

$$\frac{7x^2+6}{x^2+x+1}⩾\frac{7x+24}{x+4}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\left(7x^2+6\right)(x+4)-(7x+24)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)(x+4)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\left(7x^2+6\right)(x+4)=7x^3+28x^2+6x+24,$$

$$(7x+24)\left(x^2+x+1\right)=7x^3+7x^2+7x+24x^2+24x+24=7x^3+31x^2+31x+24.$$

Их разность равна $-3x^2-25x=-x(3x+25)$. Получаем

$$\frac{-x(3x+25)}{\left(x^2+x+1\right)(x+4)}⩾0.$$

Множитель $x^2+x+1$ положителен при всех $x$, поэтому на него можно умножить, не меняя знака. Умножим ещё на $-1$, знак неравенства сменится:

$$\frac{x(3x+25)}{x+4}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-\frac{25}{3}$ и $0$ закрашиваем, нуль знаменателя $-4$ выкалываем. При $x>0$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in \left(-\infty ;-\frac{25}{3}\right]\cup (-4;0]$.

Пересечём с ОДЗ. Промежуток $\left(-\infty ;-\frac{25}{3}\right]$ целиком лежит левее $-4$, то есть в ОДЗ. От промежутка $(-4;0]$ остаётся только часть правее $-\frac{24}{7}$, то есть $\left(-\frac{24}{7};0\right]$.

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{25}{3}\right]\cup \left(-\frac{24}{7};0\right]$.