ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: знаменатель не равен нулю, $-x^2+2x=x(2-x)\ne 0$, то есть $x\ne 0$ и $x\ne 2$.

Преобразуем числитель. По свойствам степени $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ и $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$

$$15^x=(3\cdot 5{)}^x=3^x\cdot 5^x,3^{x+1}=3\cdot 3^x,5^{x+1}=5\cdot 5^x.$$

Числитель принимает вид $3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15$. Сгруппируем слагаемые попарно: из первых двух вынесем $3^x$, из последних двух — $-5$:

$$3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15=3^x\left(5^x-3\right)-5\left(5^x-3\right)=\left(3^x-5\right)\left(5^x-3\right).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{\left(3^x-5\right)\left(5^x-3\right)}{x(2-x)}⩾0.$$

Запишем каждую скобку как разность степеней с одним основанием. По основному логарифмическому тождеству $b=a^{{\log }_{a}b}$ имеем $5=3^{{\log }_{3}5}$ и $3=5^{{\log }_{5}3}$. Функции $y=3^x$ и $y=5^x$ возрастают (основания больше $1$), поэтому разность $3^x-3^{{\log }_{3}5}$ имеет тот же знак, что и $x-{\log }_{3}5$, а разность $5^x-5^{{\log }_{5}3}$ — тот же знак, что и $x-{\log }_{5}3$. По методу рационализации получаем равносильное неравенство

$$\frac{\left(x-{\log }_{3}5\right)\left(x-{\log }_{5}3\right)}{x(2-x)}⩾0.$$

Умножим обе части на $-1$, чтобы в знаменателе стояло $x(x-2)$; знак неравенства сменится:

$$\frac{\left(x-{\log }_{5}3\right)\left(x-{\log }_{3}5\right)}{x(x-2)}⩽0.$$

Расставим нули по возрастанию. Логарифм по основанию, большему $1$, возрастает, поэтому

$$0={\log }_{5}1<{\log }_{5}3<{\log }_{5}5=1,1={\log }_{3}3<{\log }_{3}5<{\log }_{3}9=2.$$

Итак, $0<{\log }_{5}3<1<{\log }_{3}5<2$.

Решим методом интервалов. Нули числителя ${\log }_{5}3$ и ${\log }_{3}5$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $0$ и $2$ выкалываем. При $x>2$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Знак «$-$» стоит на промежутках $(0;{\log }_{5}3]$ и $[{\log }_{3}5;2)$.

Ответ: $(0;{\log }_{5}3]\cup [{\log }_{3}5;2)$.