Решите неравенство (log₃(9x))/(1-log²₃(3x))-1/(log₃ x)≥0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием средняя 2026 развёрнутое

Решите неравенство $\frac{lo g _{3} ( 9 x )}{1 - lo g _{3}^{2} ( 3 x )} - \frac{1}{lo g _{3} x} ⩾ 0.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов $9 x$ , $3 x$ и $x$ положительны, знаменатели не равны нулю:

$⎩ ⎨ ⎧ x > 0, lo g_{3} x \neq = 0, 1 - lo g_{3}^{2} (3 x) \neq = 0.$

Второе условие даёт $x \neq = 1$ . Третье означает $lo g_{3} (3 x) \neq = \pm 1$ . По свойству логарифма произведения $lo g_{3} (3 x) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} x = 1 + lo g_{3} x$ , поэтому $lo g_{3} x \neq = 0$ и $lo g_{3} x \neq = - 2$ , то есть $x \neq = 1$ и $x \neq = \frac{1}{9}$ .

Решение на числовой прямой

ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{9}; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Выразим всё через $lo g_{3} x$ . По свойству логарифма произведения

$lo g_{3} (9 x) = lo g_{3} 9 + lo g_{3} x = 2 + lo g_{3} x, lo g_{3} (3 x) = 1 + lo g_{3} x .$

Сделаем замену $t = lo g_{3} x$ , где $t \neq = 0$ и $t \neq = - 2$ :

$\frac{t + 2}{1 - ( 1 + t ) ^{2}} - \frac{1}{t} ⩾ 0.$

Знаменатель первой дроби разложим по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$1 - (1 + t)^{2} = (1 - (1 + t)) (1 + (1 + t)) = - t (t + 2) .$

Приведём дроби к общему знаменателю $t (t + 2)$ . Вторую дробь домножим на $t + 2$ :

$\frac{t + 2}{- t ( t + 2 )} - \frac{1}{t} ⩾ 0 \Leftrightarrow \frac{- ( t + 2 ) - ( t + 2 )}{t ( t + 2 )} ⩾ 0 \Leftrightarrow \frac{- 2 ( t + 2 )}{t ( t + 2 )} ⩾ 0.$

Разделим обе части на $- 2 < 0$ , знак неравенства сменится:

$\frac{t + 2}{t ( t + 2 )} ⩽ 0.$

Множитель $t + 2$ сразу не сокращаем, чтобы не потерять ограничение $t \neq = - 2$ , а учтём его в методе интервалов. Точки $t = - 2$ и $t = 0$ — нули знаменателя, их выкалываем. При $t > 0$ дробь положительна. Через $0$ знак меняется. Через $- 2$ — нет: множитель $t + 2$ стоит и в числителе, и в знаменателе, то есть суммарно в чётной степени.

Метод интервалов

Получаем $t < 0$ , $t \neq = - 2$ .

Сделаем обратную замену. Запишем $0 = lo g_{3} 1$ и $- 2 = lo g_{3} \frac{1}{9}$ . Основание $3 > 1$ , функция $y = lo g_{3} x$ возрастает, поэтому

$⎩ ⎨ ⎧ lo g_{3} x < lo g_{3} 1, lo g_{3} x \neq = lo g_{3} \frac{1}{9} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ 0 < x < 1, x \neq = \frac{1}{9} .$

Условие $x > 0$ здесь берётся из области определения логарифма. Полученное множество целиком лежит в ОДЗ.

Решение на числовой прямой

Ответ: $(0; \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{9}; 1)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16