ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: все аргументы логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}(2-x)\left(x^2+5\right)>0,\\ x^2-5x+6>0,\\ 4-x>0.\end{array}$$

Множитель $x^2+5$ положителен при всех $x$, поэтому первое условие равносильно $2-x>0$, то есть $x<2$. Корни трёхчлена $x^2-5x+6$ по теореме Виета равны $2$ и $3$ (сумма $5$, произведение $6$), поэтому $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Второе условие решим методом интервалов, точки выколоты:

Получаем $x<2$ или $x>3$. Третье условие: $x<4$. Пересечём все три условия:

ОДЗ: $x<2$.

На ОДЗ оба аргумента в правой части положительны, поэтому сумму логарифмов с одинаковым основанием заменим логарифмом произведения. Кроме того, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=(2-x)(3-x)$:

$${\log }_3((2-x)\left(x^2+5\right))⩾{\log }_3((2-x)(3-x)(4-x)).$$

Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов того же знака:

$$(2-x)\left(x^2+5\right)⩾(2-x)(3-x)(4-x).$$

На ОДЗ $2-x>0$, поэтому разделим обе части на этот множитель, знак неравенства сохранится:

$$x^2+5⩾(3-x)(4-x).$$

Раскроем скобки: $(3-x)(4-x)=12-3x-4x+x^2=x^2-7x+12$. Тогда

$$x^2+5⩾x^2-7x+12\iff 7x⩾7\iff x⩾1.$$

Пересечём с ОДЗ $x<2$: получаем $1⩽x<2$.

Ответ: $[1;2)$.