ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент первого логарифма положителен, основание второго положительно и не равно единице (его аргумент $\sqrt{7}$ положителен всегда):

$$\{\begin{array}{l}x+4>0,\\ x^2+8x+16>0,\\ x^2+8x+16\ne 1.\end{array}$$

По формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ имеем $x^2+8x+16=(x+4{)}^2$, поэтому второе условие следует из первого. Третье условие: $(x+4{)}^2\ne 1$, то есть $x+4\ne 1$ и $x+4\ne -1$, откуда $x\ne -3$ и $x\ne -5$. Точка $-5$ и так не входит в промежуток $x>-4$.

ОДЗ: $x\in (-4;-3)\cup (-3;+\infty )$.

Приведём логарифмы к основанию $7$. Так как $49=7^2$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$

$${\log }_{49}(x+4)=\frac{1}{2}{\log }_7(x+4).$$

Для второго логарифма воспользуемся формулой перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$:

$${\log }_{(x+4{)}^2}\sqrt{7}=\frac{{\log }_7\sqrt{7}}{{\log }_7(x+4{)}^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2{\log }_7(x+4)}=\frac{1}{4{\log }_7(x+4)}.$$

Здесь ${\log }_7\sqrt{7}={\log }_7{7}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$, а ${\log }_7(x+4{)}^2=2{\log }_7(x+4)$: на ОДЗ $x+4>0$, поэтому чётная степень выносится без модуля.

Сделаем замену $t={\log }_7(x+4)$. На ОДЗ $x+4\ne 1$, поэтому $t\ne 0$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t}{2}+\frac{1}{4t}⩽-\frac{3}{4}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $4t$:

$$\frac{2t^2+1+3t}{4t}⩽0\iff \frac{2t^2+3t+1}{4t}⩽0.$$

Разложим числитель на множители. Дискриминант $D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$, корни $t=\frac{-3\pm 1}{4}$, то есть $-1$ и $-\frac{1}{2}$. Значит, $2t^2+3t+1=2(t+1)\left(t+\frac{1}{2}\right)=(t+1)(2t+1)$. Положительный множитель $4$ в знаменателе на знак не влияет:

$$\frac{(t+1)(2t+1)}{t}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-1$ и $-\frac{1}{2}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $0$ выкалываем. При $t>0$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽-1$ или $-\frac{1}{2}⩽t<0$.

Сделаем обратную замену. Запишем $-1={\log }_7\frac{1}{7}$, $-\frac{1}{2}={\log }_7\frac{1}{\sqrt{7}}$, $0={\log }_{7}1$. Основание $7>1$, функция $y={\log }_{7}x$ возрастает, поэтому неравенства между логарифмами равносильны неравенствам того же знака между аргументами (с учётом $x+4>0$):

$$[\begin{array}{l}{\log }_7(x+4)⩽{\log }_7\frac{1}{7},\\ {\log }_7\frac{1}{\sqrt{7}}⩽{\log }_7(x+4)<{\log }_{7}1\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x+4⩽\frac{1}{7},\\ \frac{1}{\sqrt{7}}⩽x+4<1\end{array}\iff [\begin{array}{l}-4<x⩽-\frac{27}{7},\\ -4+\frac{1}{\sqrt{7}}⩽x<-3.\end{array}$$

Сравним концы промежутков: $-\frac{27}{7}=-4+\frac{1}{7}$, а $\frac{1}{7}<\frac{1}{\sqrt{7}}$, так как $7>\sqrt{7}$. Значит, первый промежуток лежит левее второго. Оба промежутка лежат в ОДЗ: правее $-4$ и левее $-3$.

Ответ: $\left(-4;-\frac{27}{7}\right]\cup \left[-4+\frac{1}{\sqrt{7}};-3\right)$.