ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Числитель правой дроби — квадрат разности: по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

$$16x^2-8x+1=(4x{)}^2-2\cdot 4x\cdot 1+1^2=(4x-1{)}^2.$$

Знаменатель правой дроби $x^2-9x+18$ разложим на множители. Его корни найдём по теореме Виета: сумма корней $9$, произведение $18$, это числа $3$ и $6$. Значит,

$$x^2-9x+18=(x-3)(x-6).$$

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 3$ и $x\ne 6$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{(4x-1{)}^2}{x-3}⩾\frac{(4x-1{)}^2}{(x-3)(x-6)}.$$

Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому умножать на них нельзя. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x-3)(x-6)$:

$$\frac{(4x-1{)}^2(x-6)-(4x-1{)}^2}{(x-3)(x-6)}⩾0.$$

Вынесем в числителе общий множитель $(4x-1{)}^2$:

$$\frac{(4x-1{)}^2(x-6-1)}{(x-3)(x-6)}⩾0\iff \frac{(4x-1{)}^2(x-7)}{(x-3)(x-6)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=\frac{1}{4}$ и $x=7$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=3$ и $x=6$ выкалываем. При $x>7$ все множители положительны, знак «$+$». При переходе через $7$, $6$ и $3$ знак меняется, а через $\frac{1}{4}$ — нет: множитель $(4x-1{)}^2$ стоит в чётной степени.

Неравенство выполнено на промежутках со знаком «$+$», то есть при $3<x<6$ и при $x⩾7$, а также в точке $x=\frac{1}{4}$: там дробь равна нулю, и нестрогое неравенство $0⩾0$ верно. Эту точку легко потерять, если сократить обе части на $(4x-1{)}^2$ без оговорки.

Ответ: $\left\{\frac{1}{4}\right\}\cup (3;6)\cup [7;+\infty )$.