ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}{x}^3-6x^2+12x-8>0,\\ x^2-4>0.\end{array}$$

Первый аргумент — куб разности: по формуле $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=x$, $b=2$

$$x^3-6x^2+12x-8=x^3-3\cdot 2\cdot x^2+3\cdot 4\cdot x-2^3=(x-2{)}^3.$$

Куб имеет тот же знак, что и само число, поэтому первое условие равносильно $x>2$. Второе условие: $x^2-4=(x-2)(x+2)>0$. Решим его методом интервалов, точки выколоты:

Получаем $x<-2$ или $x>2$. Вместе с первым условием ОДЗ: $x>2$.

Приведём все слагаемые к логарифмам по основанию $125=5^3$. По свойству ${\log }_{a^k}{b}^k={\log }_{a}b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) имеем

$${\log }_5\left(x^2-4\right)={\log }_{5^3}{\left(x^2-4\right)}^3={\log }_{125}((x-2{)}^3(x+2{)}^3).$$

Число $2$ запишем как логарифм: $2={\log }_{125}125^2$. Перенесём его в левую часть, и неравенство примет вид

$${\log }_{125}(x-2{)}^3+{\log }_{125}125^2⩾{\log }_{125}((x-2{)}^3(x+2{)}^3).$$

На ОДЗ $(x-2{)}^3>0$, поэтому сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

$${\log }_{125}(125^2(x-2{)}^3)⩾{\log }_{125}((x-2{)}^3(x+2{)}^3).$$

Основание $125>1$, функция $y={\log }_{125}t$ возрастает, значит, на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов того же знака:

$$125^2(x-2{)}^3⩾(x-2{)}^3(x+2{)}^3.$$

Заметим, что $125^2=5^6=25^3$. Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$(x-2{)}^3\left(25^3-(x+2{)}^3\right)⩾0.$$

На ОДЗ $(x-2{)}^3>0$, поэтому разделим на этот множитель, не меняя знака:

$$(x+2{)}^3⩽25^3.$$

Функция $y=t^3$ возрастает, поэтому неравенство кубов равносильно неравенству самих чисел того же знака:

$$x+2⩽25\iff x⩽23.$$

Проверим себя другим путём. При $x>2$ имеем ${\log }_{125}(x-2{)}^3={\log }_5(x-2)$, и неравенство сводится к ${\log }_5(25(x-2))⩾{\log }_5((x-2)(x+2))$, то есть $25⩾x+2$ — тот же результат.

Пересечём с ОДЗ $x>2$:

Ответ: $(2;23]$.