ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным; кроме того, $x+3\ne 0$:

$$\{\begin{array}{l}4x^2-x^4>0,\\ x\ne -3.\end{array}$$

Разложим на множители: $4x^2-x^4=x^2\left(4-x^2\right)=x^2(2-x)(2+x)$. Решим неравенство $x^2(2-x)(2+x)>0$ методом интервалов, все точки выколоты. Правее $2$ множитель $2-x$ отрицателен, и выражение отрицательно. Через $2$ и $-2$ знак меняется, а через $0$ — нет, так как множитель $x^2$ в чётной степени.

ОДЗ: $x\in (-2;0)\cup (0;2)$. Условие $x\ne -3$ на этом множестве выполнено автоматически.

Преобразуем левую часть. По свойству корня $\sqrt{a^{2}b}=|a|\sqrt{b}$ при $b⩾0$:

$$\frac{x}{\sqrt{x^2\left(4-x^2\right)}}=\frac{x}{|x|\sqrt{4-x^2}}.$$

Отношение $\frac{x}{|x|}$ равно $1$ при $x>0$ и $-1$ при $x<0$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $0<x<2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}⩽\frac{1}{x+3}.$$

Обе части положительны: $\sqrt{4-x^2}>0$ и $x+3>3$. Для неотрицательных частей возведение в квадрат — равносильный переход:

$$\frac{1}{4-x^2}⩽\frac{1}{(x+3{)}^2}.$$

Для положительных чисел $a$ и $b$ неравенство $\frac{1}{a}⩽\frac{1}{b}$ равносильно $a⩾b$, поэтому

$$4-x^2⩾x^2+6x+9\iff 2x^2+6x+5⩽0.$$

Дискриминант трёхчлена $D=6^2-4\cdot 2\cdot 5=36-40=-4<0$, а старший коэффициент $2>0$. Значит, парабола $y=2x^2+6x+5$ целиком лежит выше оси $Ox$, и неравенство решений не имеет.

Это видно и без вычислений: при $0<x<2$ знаменатель $\sqrt{4-x^2}<2$, поэтому левая дробь больше $\frac{1}{2}$, а правая меньше $\frac{1}{3}$, так как $x+3>3$.

Случай 2: $-2<x<0$. Здесь $\frac{x}{|x|}=-1$, и неравенство принимает вид

$$-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}⩽\frac{1}{x+3}.$$

Левая часть отрицательна, так как $\sqrt{4-x^2}>0$. Правая часть положительна, так как при $x>-2$ имеем $x+3>1$. Отрицательное число меньше положительного, поэтому неравенство верно при всех $x$ из промежутка $(-2;0)$.

Объединим результаты: решения даёт только второй случай.

Ответ: $(-2;0)$.