ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Рассмотрим числитель. Выразим все степени через $3^x$: $27^x={\left(3^3\right)}^x={\left(3^x\right)}^3$, $9^{x+1}=9\cdot {\left(3^x\right)}^2$, $3^{x+3}=27\cdot 3^x$. Пусть $t=3^x$, тогда числитель равен

$$t^3-9t^2+27t-27.$$

Это куб разности: по формуле $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=t$, $b=3$ получаем $t^3-3\cdot 3\cdot t^2+3\cdot 9\cdot t-27$, то есть

$$t^3-9t^2+27t-27=(t-3{)}^3={\left(3^x-3\right)}^3.$$

Рассмотрим знаменатель. Вынесем $0,5$ за скобки и заметим квадрат разности $(10x{)}^2-2\cdot 10x\cdot 11+11^2$:

$$50x^2-110x+60,5=0,5\left(100x^2-220x+121\right)=0,5(10x-11{)}^2.$$

Ограничение: знаменатель не равен нулю, то есть $10x-11\ne 0$, $x\ne 1,1$. При остальных $x$ знаменатель положителен.

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(3^x-3\right)}^3}{0,5(10x-11{)}^2}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому разность $3^x-3^1$ имеет тот же знак, что и $x-1$. Куб числа имеет тот же знак, что и само число, а положительный множитель $0,5$ на знак не влияет. Значит, неравенство равносильно

$$\frac{x-1}{(10x-11{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=1,1$ выкалываем. Правее $1,1$ дробь положительна. Через $1,1$ знак не меняется, так как множитель $(10x-11{)}^2$ в чётной степени, а через $1$ — меняется.

Получаем $1⩽x<1,1$ или $x>1,1$.

Ответ: $[1;1,1)\cup (1,1;+\infty )$.