ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов $64x$, $x$ и $x^3$ положительны — всё это равносильно условию $x>0$. Кроме того, знаменатель не равен нулю:

$${\log }_4^{2}x-{\log }_4{x}^3\ne 0.$$

Преобразуем числитель и знаменатель при $x>0$. По свойству логарифма произведения ${\log }_4(64x)={\log }_{4}64+{\log }_{4}x=3+{\log }_{4}x$, так как $4^3=64$. По свойству логарифма степени ${\log }_4{x}^3=3{\log }_{4}x$. Тогда

$$\frac{{\log }_4(64x)-2}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4{x}^3}=\frac{{\log }_{4}x+1}{{\log }_4^{2}x-3{\log }_{4}x}=\frac{{\log }_{4}x+1}{{\log }_{4}x\left({\log }_{4}x-3\right)}.$$

Условие на знаменатель: ${\log }_{4}x\ne 0$ и ${\log }_{4}x\ne 3$, то есть $x\ne 1$ и $x\ne 64$. ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;64)\cup (64;+\infty )$.

Сделаем замену $t={\log }_{4}x$, где $t\ne 0$ и $t\ne 3$:

$$\frac{t+1}{t(t-3)}⩽-1.$$

Умножать на знаменатель нельзя — его знак заранее неизвестен. Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t+1}{t(t-3)}+1⩽0\iff \frac{t+1+t^2-3t}{t(t-3)}⩽0\iff \frac{t^2-2t+1}{t(t-3)}⩽0.$$

Числитель — полный квадрат: $t^2-2t+1=(t-1{)}^2$. Получаем

$$\frac{(t-1{)}^2}{t(t-3)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=0$ и $t=3$ выкалываем. При $t>3$ дробь положительна. При переходе через $3$ и $0$ знак меняется, а через $1$ — нет, так как множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени.

Получаем $t\in (0;1]\cup [1;3)$, то есть $0<t<3$: точка $t=1$ входит, потому что в ней дробь равна нулю.

Сделаем обратную замену. Запишем $0={\log }_{4}1$ и $3={\log }_{4}64$. Основание $4>1$, функция $y={\log }_{4}x$ возрастает, поэтому

$${\log }_{4}1<{\log }_{4}x<{\log }_{4}64\iff 1<x<64.$$

Этот промежуток лежит в ОДЗ: на нём $x>0$, а исключённые точки $1$ и $64$ в него не входят.

Ответ: $(1;64)$.