Решите неравенство 2log₂(x√5)-log₂(x/(1-x))≤log₂(5x²+1/x-2) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $2 lo g_{2} (x 5) - lo g_{2} (\frac{x}{1 - x}) \leq lo g_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2)$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех трёх логарифмов должны быть положительными:

$⎩ ⎨ ⎧ x 5 > 0, \frac{x}{1 - x} > 0, 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 > 0.$

Первое условие даёт $x > 0$ . Второе решим методом интервалов: нуль числителя $x = 0$ , нуль знаменателя $x = 1$ , неравенство строгое, поэтому обе точки выколоты. Правее $1$ знаменатель $1 - x$ отрицателен, и дробь отрицательна; дальше знаки чередуются.

Метод интервалов

Значит, $0 < x < 1$ . Третье условие отдельно решать не будем: ниже увидим, что для решений основного неравенства оно выполняется само собой.

Преобразуем левую часть. Так как $x 5 > 0$ , по свойству логарифма степени $k lo g_{a} b = lo g_{a} b^{k}$

$2 lo g_{2} (x 5) = lo g_{2} (x 5)^{2} = lo g_{2} (5 x^{2}) .$

Аргументы $5 x^{2}$ и $\frac{x}{1 - x}$ положительны, поэтому разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:

$lo g_{2} (5 x^{2}) - lo g_{2} \frac{x}{1 - x} = lo g_{2} (5 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{x}) = lo g_{2} (5 x (1 - x)) .$

Неравенство принимает вид

$lo g_{2} (5 x (1 - x)) ⩽ lo g_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

Основание $2 > 1$ , поэтому функция $y = lo g_{2} t$ возрастает: большему логарифму соответствует больший аргумент. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов того же знака:

$5 x (1 - x) ⩽ 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2.$

Вернёмся к третьему условию ОДЗ. При $0 < x < 1$ оба множителя $x$ и $1 - x$ положительны, поэтому $5 x (1 - x) > 0$ . Если $x$ удовлетворяет полученному неравенству, то $5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 ⩾ 5 x (1 - x) > 0$ , то есть аргумент правого логарифма положителен автоматически. Итак, исходное неравенство равносильно системе

$⎩ ⎨ ⎧ 5 x (1 - x) ⩽ 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2, 0 < x < 1.$

Перенесём всё в левую часть и приведём подобные:

$5 x - 5 x^{2} - 5 x^{2} - \frac{1}{x} + 2 ⩽ 0 \Leftrightarrow - 10 x^{2} + 5 x + 2 - \frac{1}{x} ⩽ 0.$

Умножим обе части на $x$ . Так как $x > 0$ , знак неравенства сохраняется:

$- 10 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 1 ⩽ 0.$

Умножим на $- 1$ , знак неравенства сменится:

$10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1 ⩾ 0.$

Разложим левую часть группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $5 x^{2}$ , из последних двух — $- 1$ :

$10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1 = 5 x^{2} (2 x - 1) - (2 x - 1) = (2 x - 1) (5 x^{2} - 1) .$

По формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ имеем $5 x^{2} - 1 = (5 x - 1) (5 x + 1)$ . Получаем

$(2 x - 1) (5 x - 1) (5 x + 1) ⩾ 0.$

Решим методом интервалов. Нули множителей: $- \frac{1}{5}$ , $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$ . Сравним два последних: $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$ , так как $5 > 2$ . Неравенство нестрогое, поэтому все точки закрашены. При больших $x$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Метод интервалов

Получаем $x \in [- \frac{1}{5}; \frac{1}{5}] \cup [\frac{1}{2}; + \infty)$ . Пересечём с условием $0 < x < 1$ : от первого промежутка остаётся $(0; \frac{1}{5}]$ , от второго — $[\frac{1}{2}; 1)$ .

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(0; \frac{1}{5}] \cup [\frac{1}{2}; 1)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16