ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе. По теореме Виета его корни $3$ и $8$ (сумма $11$, произведение $24$):

$$x^2-11x+24=(x-3)(x-8).$$

Знаменатели не равны нулю: $x\ne 3$, $x\ne 8$.

Перенесём обе дроби в правую часть:

$$x-3⩽\frac{63x-509}{(x-3)(x-8)}+\frac{1}{x-8}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю $(x-3)(x-8)$:

$$\frac{63x-509+x-3}{(x-3)(x-8)}=\frac{64x-512}{(x-3)(x-8)}=\frac{64(x-8)}{(x-3)(x-8)}.$$

При $x\ne 8$ сократим на $x-8$:

$$x-3⩽\frac{64}{x-3},x\ne 8.$$

Умножать на $x-3$ нельзя — его знак неизвестен. Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-3{)}^2-64}{x-3}⩽0.$$

По формуле разности квадратов $(x-3{)}^2-8^2=(x-3-8)(x-3+8)=(x-11)(x+5)$:

$$\frac{(x-11)(x+5)}{x-3}⩽0,x\ne 8.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-5$ и $11$ закрашиваем, нуль знаменателя $3$ выкалываем. Правее $11$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x⩽-5$ или $3<x⩽11$. Точка $8$ попадает в промежуток $(3;11]$, её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-5]\cup (3;8)\cup (8;11]$.