ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}8-x>0,\\ x+17>0,\\ x^2-6x>0,\\ 8^{{\log }_8(8-x)}+17^{{\log }_{17}(x+17)}>0.\end{array}$$

Последнее условие выполняется автоматически: это сумма двух степеней с положительными основаниями. Первые два дают $-17<x<8$. Третье: $x(x-6)>0$.

Пересечём с интервалом $(-17;8)$:

ОДЗ: $x\in (-17;0)\cup (6;8)$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$, $a>0$, $a\ne 1$) на ОДЗ

$$8^{{\log }_8(8-x)}=8-x,17^{{\log }_{17}(x+17)}=x+17.$$

Их сумма равна $(8-x)+(x+17)=25$, и левая часть неравенства — число:

$${\log }_{5}25+1=2+1=3.$$

Неравенство принимает вид ${\log }_3\left(x^2-6x\right)⩽3$. Запишем $3={\log }_{3}27$:

$${\log }_3\left(x^2-6x\right)⩽{\log }_{3}27.$$

Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется (по методу рационализации знак разности совпадает со знаком $(3-1)\left(x^2-6x-27\right)$). С учётом ОДЗ получаем

$$x^2-6x⩽27\iff x^2-6x-27⩽0.$$

По теореме Виета корни $x=9$ и $x=-3$ (сумма $6$, произведение $-27$), то есть $(x-9)(x+3)⩽0$.

Получаем $x\in [-3;9]$. Пересечём с ОДЗ: из $(-17;0)$ остаётся $[-3;0)$, а промежуток $(6;8)$ целиком лежит в $[-3;9]$.

Ответ: $[-3;0)\cup (6;8)$.