ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе. Его дискриминант $D=196-180=16$, корни $x=\frac{14\pm 4}{2}$, то есть $5$ и $9$:

$$x^2-14x+45=(x-5)(x-9).$$

Знаменатели не равны нулю: $x\ne 5$, $x\ne 9$.

Перенесём дробь из правой части влево:

$$x-5-\frac{35x-319}{(x-5)(x-9)}-\frac{1}{x-9}⩽0.$$

Сложим две дроби, которые вычитаются. Общий знаменатель $(x-5)(x-9)$:

$$\frac{35x-319}{(x-5)(x-9)}+\frac{1}{x-9}=\frac{35x-319+x-5}{(x-5)(x-9)}=\frac{36x-324}{(x-5)(x-9)}=\frac{36(x-9)}{(x-5)(x-9)}.$$

При $x\ne 9$ сократим на $x-9$, получим $\frac{36}{x-5}$. Неравенство принимает вид

$$x-5-\frac{36}{x-5}⩽0,x\ne 9.$$

Умножать на $x-5$ нельзя — его знак неизвестен. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-5{)}^2-36}{x-5}⩽0.$$

По формуле разности квадратов $(x-5{)}^2-6^2=(x-5-6)(x-5+6)=(x-11)(x+1)$:

$$\frac{(x-11)(x+1)}{x-5}⩽0,x\ne 9.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-1$ и $11$ закрашиваем, нуль знаменателя $5$ выкалываем. Правее $11$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x⩽-1$ или $5<x⩽11$. Точка $9$ лежит в промежутке $(5;11]$, её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup (5;9)\cup (9;11]$.