ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $3-x>0$, $x+2>0$, $x^2>0$, $x^4>0$. Последние два условия означают $x\ne 0$. Кроме того, знаменатель не равен нулю.

Преобразуем знаменатель. При $x\ne 0$ число $x^2$ положительно, и по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$)

$${\log }_3{x}^4={\log }_3{\left(x^2\right)}^2=2{\log }_3{x}^2.$$

Писать ${\log }_3{x}^4=4{\log }_{3}x$ нельзя: при $x<0$ выражение ${\log }_{3}x$ не определено. По формуле квадрата суммы

$${\log }_3^2{x}^2+2{\log }_3{x}^2+1={\left({\log }_3{x}^2+1\right)}^2.$$

Знаменатель равен нулю только при ${\log }_3{x}^2=-1$, то есть

$$x^2=3^{-1}=\frac{1}{3}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Итак, ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x<3,\\ x>-2,\\ x\ne 0,\\ x\ne \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\end{array}$$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он строго положителен. Значит, дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель:

$${\log }_3(3-x)-{\log }_3(x+2)⩾0\iff {\log }_3(3-x)⩾{\log }_3(x+2).$$

Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется (по методу рационализации знак числителя совпадает со знаком $(3-1)((3-x)-(x+2))=2(1-2x)$):

$$3-x⩾x+2\iff 2x⩽1\iff x⩽\frac{1}{2}.$$

Пересечём с ОДЗ. Сравним $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{3}}$: так как $\sqrt{3}<2$, то $\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}$. Значит, точка $\frac{1}{\sqrt{3}}$ в полученное множество не попадает, а точки $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0$ нужно выколоть.

Ответ: $\left(-2;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{3}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right]$.