ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: все подкоренные выражения неотрицательны. Упростим первое из них:

$$(x-3{)}^2-x^2=x^2-6x+9-x^2=9-6x.$$

$$\{\begin{array}{l}9-6x⩾0,\\ x+3⩾0,\\ 4x+12⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩽\frac{3}{2},\\ x⩾-3.\end{array}$$

ОДЗ: $x\in \left[-3;\frac{3}{2}\right]$.

Преобразуем правую часть. Так как $4x+12=4(x+3)$ и корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней,

$$\sqrt{4x+12}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x+3}=2\sqrt{x+3}.$$

Неравенство принимает вид

$$\sqrt{9-6x}+\sqrt{x+3}⩾2\sqrt{x+3}.$$

Вычтем из обеих частей $\sqrt{x+3}$:

$$\sqrt{9-6x}⩾\sqrt{x+3}.$$

На ОДЗ оба подкоренных выражения неотрицательны, а функция $y=\sqrt{t}$ возрастает при $t⩾0$. Поэтому больший корень соответствует большему подкоренному выражению, и неравенство равносильно

$$9-6x⩾x+3\iff 7x⩽6\iff x⩽\frac{6}{7}.$$

Пересечём с ОДЗ. Так как $\frac{6}{7}<1<\frac{3}{2}$, остаётся отрезок от $-3$ до $\frac{6}{7}$.

Ответ: $\left[-3;\frac{6}{7}\right]$.