ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим числитель на множители способом группировки:

$$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left(x^2-1\right)=(x-1{)}^2(x+1).$$

На последнем шаге мы разложили $x^2-1=(x-1)(x+1)$ по формуле разности квадратов.

В знаменателе заметим, что $9^{x^2}={\left(3^{x^2}\right)}^2$ и $18\cdot 3^{x^2}=2\cdot 3^{x^2}\cdot 9$. Это квадрат разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=3^{x^2}$, $b=9$:

$$9^{x^2}-18\cdot 3^{x^2}+81={\left(3^{x^2}\right)}^2-2\cdot 3^{x^2}\cdot 9+9^2={\left(3^{x^2}-9\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x-1{)}^2(x+1)}{{\left(3^{x^2}-9\right)}^2}⩽0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен и обращается в ноль только при $3^{x^2}=9=3^2$, то есть при $x^2=2$, $x=\pm \sqrt{2}$. При остальных $x$ знаменатель положителен, и знак дроби совпадает со знаком числителя. Значит, неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2(x+1)⩽0,\\ x\ne \pm \sqrt{2}.\end{array}$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули $-1$ и $1$ закрашиваем (неравенство нестрогое). Множитель $(x-1{)}^2$ в чётной степени, поэтому через точку $1$ знак не меняется; через $-1$ меняется.

Получаем $x⩽-1$ или $x=1$ (в этой точке числитель равен нулю).

Учтём условие $x\ne \pm \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}>1$, точка $-\sqrt{2}$ лежит левее $-1$ и попадает в луч $(-\infty ;-1]$ — её нужно выколоть. Точка $\sqrt{2}$ в найденное множество не входит.

Ответ: $(-\infty ;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1]\cup \{1\}$.