ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ — все аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+2>0,\\ x+5>0,\\ \frac{x+4}{x^2}>0.\end{array}$$

Первое условие: $\frac{1}{x}+2=\frac{2x+1}{x}>0$. Нуль числителя $-\frac{1}{2}$, нуль знаменателя $0$, оба выколотые.

Третье условие: при $x\ne 0$ знаменатель $x^2$ положителен, поэтому дробь положительна, когда $x+4>0$. Получаем $x>-4$, $x\ne 0$. Второе условие $x>-5$ при этом выполняется автоматически. Пересечём все условия:

ОДЗ: $x\in \left(-4;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$.

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: ${\log }_{3}a-{\log }_{3}b={\log }_3\frac{a}{b}$. Поэтому левая часть равна

$${\log }_3\left(\frac{2x+1}{x}:(x+5)\right)={\log }_3\frac{2x+1}{x(x+5)}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_3\frac{2x+1}{x(x+5)}⩾{\log }_3\frac{x+4}{x^2}.$$

Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому на ОДЗ (где оба аргумента положительны) неравенство равносильно неравенству для аргументов с тем же знаком:

$$\frac{2x+1}{x(x+5)}⩾\frac{x+4}{x^2}.$$

Умножим обе части на $x^2>0$ — знак сохраняется:

$$\frac{x(2x+1)}{x+5}⩾x+4.$$

На ОДЗ $x>-4$, значит, $x+5>0$, и можно умножить на $x+5$, не меняя знака:

$$2x^2+x⩾(x+4)(x+5)\iff 2x^2+x⩾x^2+9x+20\iff x^2-8x-20⩾0.$$

По теореме Виета корни $x=10$ и $x=-2$ (сумма $8$, произведение $-20$), то есть $(x-10)(x+2)⩾0$.

Получаем $x⩽-2$ или $x⩾10$. Пересечём с ОДЗ. Из промежутка $\left(-4;-\frac{1}{2}\right)$ остаётся $(-4;-2]$, так как $-2<-\frac{1}{2}$. Из промежутка $(0;+\infty )$ остаётся $[10;+\infty )$.

Ответ: $(-4;-2]\cup [10;+\infty )$.