ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $4x^2>0$ и $x>0$ (в знаменателе стоит ${\log }_{2}x$). Первое условие следует из второго, поэтому $x>0$. Кроме того, знаменатель не равен нулю: ${\log }_2^{2}x\ne 36$.

Упростим числитель. По формуле логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

$${\log }_2\left(4x^2\right)={\log }_{2}4+{\log }_2{x}^2=2+2{\log }_{2}x.$$

Показатель степени мы вынесли без модуля, потому что $x>0$. Числитель равен $2{\log }_{2}x+37$.

Запись ${\log }_2^{2}x$ означает ${\left({\log }_{2}x\right)}^2$. Сделаем замену $t={\log }_{2}x$, при этом $t\ne \pm 6$:

$$\frac{2t+37}{t^2-36}⩾-1.$$

Умножать на знаменатель нельзя: его знак заранее неизвестен. Поэтому перенесём $-1$ влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t+37}{t^2-36}+1⩾0\iff \frac{2t+37+t^2-36}{t^2-36}⩾0\iff \frac{t^2+2t+1}{t^2-36}⩾0.$$

Числитель — полный квадрат $(t+1{)}^2$, знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов:

$$\frac{(t+1{)}^2}{(t-6)(t+6)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=-1$ закрашиваем: в нём дробь равна нулю, а неравенство нестрогое. Множитель $(t+1{)}^2$ в чётной степени, поэтому при переходе через $-1$ знак не меняется. Нули знаменателя $\pm 6$ выкалываем.

Получаем $t<-6$, $t=-1$ или $t>6$. Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $2$: $-6={\log }_2\frac{1}{64}$, $-1={\log }_2\frac{1}{2}$, $6={\log }_{2}64$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются (с учётом ОДЗ $x>0$):

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}x<{\log }_2\frac{1}{64},\\ {\log }_{2}x={\log }_2\frac{1}{2},\\ {\log }_{2}x>{\log }_{2}64\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{64},\\ x=\frac{1}{2},\\ x>64.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right)\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup (64;+\infty )$.