ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2x^2-13x+20>0,\\ x+7>0,\\ {\log }_3(x+7)\ne 0.\end{array}$$

Квадратный трёхчлен: $D=169-160=9$, корни $x=\frac{13\pm 3}{4}$, то есть $x=4$ и $x=\frac{5}{2}$. Значит, $2x^2-13x+20=(x-4)(2x-5)$.

Первое условие даёт $x<2,5$ или $x>4$. Второе: $x>-7$. Третье: логарифм равен нулю, только когда аргумент равен $1$, поэтому $x+7\ne 1$, то есть $x\ne -6$. Итоговая ОДЗ:

$$x\in (-7;-6)\cup (-6;2,5)\cup (4;+\infty ).$$

Запишем $1={\log }_{2}2$ в числителе и $0={\log }_{3}1$ в знаменателе:

$$\frac{{\log }_2\left(2x^2-13x+20\right)-{\log }_{2}2}{{\log }_3(x+7)-{\log }_{3}1}⩽0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак разности ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(f-g)$. Это верно, потому что при $a>1$ логарифм возрастает: больший аргумент даёт больший логарифм. Заменим числитель и знаменатель:

$$\frac{(2-1)\left(2x^2-13x+20-2\right)}{(3-1)(x+7-1)}⩽0\iff \frac{2x^2-13x+18}{2(x+6)}⩽0.$$

Разложим числитель: $D=169-144=25$, корни $x=\frac{13\pm 5}{4}$, то есть $x=\frac{9}{2}$ и $x=2$. Тогда $2x^2-13x+18=(x-2)(2x-9)$. Умножим неравенство на положительное число $2$:

$$\frac{(x-2)(2x-9)}{x+6}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $2$ и $\frac{9}{2}$ закрашиваем, нуль знаменателя $-6$ выкалываем. Правее $\frac{9}{2}$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Без учёта ОДЗ получаем $x\in (-\infty ;-6)\cup [2;4,5]$. Пересечём с ОДЗ:

Ответ: $(-7;-6)\cup [2;2,5)\cup (4;4,5]$.